Câu 1.
Gọi hai nghiệm nguyên của phương trình là x1, x2

Theo Viète, ta có
x1 + x2 = 2(m - 1)
x1.x2 = -3

Vì x1, x2 là các số nguyên và tích bằng -3 nên các cặp nghiệm nguyên chỉ có thể là
1 và -3, hoặc -1 và 3

Khi đó tổng nghiệm lần lượt là
1 + (-3) = -2
-1 + 3 = 2

Suy ra
2(m - 1) = -2 hoặc 2(m - 1) = 2

Giải ra được
m - 1 = -1 hoặc m - 1 = 1
nên
m = 0 hoặc m = 2

Thử lại
m = 0, phương trình thành
x^2 + 2x - 3 = 0
có nghiệm 1, -3

m = 2, phương trình thành
x^2 - 2x - 3 = 0
có nghiệm -1, 3

Vậy các giá trị của m là
m = 0, m = 2

Giải thích, do tích hai nghiệm bằng -3 nên chỉ cần xét các cặp ước nguyên của -3 rồi dùng tổng hai nghiệm để tìm m.

Gọi hai nghiệm nguyên của phương trình là x1, x2

Theo Viète, ta có
x1 + x2 = 2(m - 1)
x1.x2 = -3

Vì x1, x2 là các số nguyên và tích bằng -3 nên các cặp nghiệm nguyên chỉ có thể là
1 và -3, hoặc -1 và 3

Khi đó tổng nghiệm lần lượt là
1 + (-3) = -2
-1 + 3 = 2

Suy ra
2(m - 1) = -2 hoặc 2(m - 1) = 2

Giải ra được
m - 1 = -1 hoặc m - 1 = 1
nên
m = 0 hoặc m = 2

Thử lại
m = 0, phương trình thành
x^2 + 2x - 3 = 0
có nghiệm 1, -3

m = 2, phương trình thành
x^2 - 2x - 3 = 0
có nghiệm -1, 3

Vậy các giá trị của m là
m = 0, m = 2

Câu 1.
Điều kiện:
-1/4 ≤ x ≤ 3

Phương trình:
x^2 + x + √(3 - x) = √(4x + 1) + 4

Thử x = 2:
VT = 2^2 + 2 + √(3 - 2) = 4 + 2 + 1 = 7
VP = √(4.2 + 1) + 4 = √9 + 4 = 3 + 4 = 7

Vậy x = 2 thỏa mãn

Kết luận:
x = 2

ĐKXĐ: \(\begin{cases}3-x\ge0\\ 4x+1\ge0\end{cases}\Rightarrow-\frac14\le x\le3\)

Ta có: \(x^2+x+\sqrt{3-x}=\sqrt{4x+1}+4\)

=>\(x^2+x-6+\sqrt{3-x}-1=\sqrt{4x+1}-3\)

=>\(\left(x+3\right)\left(x-2\right)+\frac{3-x-1}{\sqrt{3-x}+1}=\frac{4x+1-9}{\sqrt{4x+1}+3}\)

=>\(\left(x-2\right)\left(x+3\right)-\frac{x-2}{\sqrt{3-x}+_{}1}=\frac{4x-8}{\sqrt{4x+1}+3}\)

=>\(\left(x-2\right)\left(x+3-\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}\right)=0\)

=>x-2=0

=>x=2(nhận)

x^2 − 3x − 1 = 0

Theo Viète

x1 + x2 = 3
x1x2 = −1

A = x1^2 − 3x2^2 + 12x2

Vì x1 là nghiệm nên
x1^2 = 3x1 + 1

Thay vào A

A = (3x1 + 1) − 3(3x2 + 1) + 12x2

A = 3x1 + 1 − 9x2 − 3 + 12x2

A = 3x1 + 3x2 − 2

A = 3(x1 + x2) − 2

A = 3·3 − 2

A = 7

mình cảm ơnn

Kí hiệu:
a = BC, b = CA, c = AB, nên tam giác ABC vuông tại A có
a² = b² + c², với b > c.

Gọi
r = AE = AF = ID = IE
là bán kính đường tròn nội tiếp.

Vì tam giác vuông tại A nên
r = (b + c - a)/2.

Ngoài ra:
CE = CD = b - r = (a + b - c)/2.

Ta còn gọi
T = AI ∩ BC.
a) Chứng minh I, E, C, D cùng thuộc một đường tròn

Ta có:
IE ⟂ AC, mà E thuộc AC
nên góc IEC = 90°.

Lại có:
ID ⟂ BC, mà D thuộc BC
nên góc IDC = 90°.

Suy ra
góc IEC + góc IDC = 180°.

Vậy tứ giác IECD nội tiếp.

Đpcm.
b) Gọi K, O lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh K, O, S thẳng hàng

Vì K là trung điểm AB, O là trung điểm BC nên trong tam giác ABC ta có

KO // AC. (1)

Vì thế, để chứng minh K, O, S thẳng hàng, chỉ cần chứng minh S nằm trên đường thẳng qua O song song AC.

Gọi U là giao điểm của AI với đường thẳng qua O song song AC.
Ta sẽ chứng minh U trùng S.

Trong tam giác ABC, vì AI là phân giác góc A nên theo định lí phân giác:

BT/TC = AB/AC = c/b

suy ra

TC = ab/(b + c). (2)

Xét tam giác ACT, đường thẳng DES cắt AC tại E, cắt CT tại D, cắt AT tại S.
Theo hệ thức tỉ số trên tam giác ACT:

CE/EA . AS/ST . TD/DC = 1

hay

AS/ST = EA/CE . DC/TD.

Mà
EA = r, CE = CD = b - r

nên

AS/ST = r/TD. (3)

Bây giờ ta tính TD:

TD = CD - CT
= (b - r) - ab/(b + c).

Thay r = (b + c - a)/2 vào:

TD = (a + b - c)/2 - ab/(b + c)
= [(a + b - c)(b + c) - 2ab] / [2(b + c)]
= [ab + ac + b² - c² - 2ab] / [2(b + c)]
= [ac - ab + b² - c²] / [2(b + c)]
= [(b - c)(b + c - a)] / [2(b + c)]
= r(b - c)/(b + c).

Từ (3) suy ra

AS/ST = (b + c)/(b - c). (4)

Vì O là trung điểm BC nên

CO = a/2.

Từ (2):

TO = TC - CO
= ab/(b + c) - a/2
= a(b - c)/[2(b + c)]. (5)

Do OU // AC, trong tam giác TCA ta có

TU/TA = TO/TC.

Thay (2), (5) vào:

TU/TA = [a(b - c)/2(b + c)] / [ab/(b + c)]
= (b - c)/(2b).

Suy ra

AU/UT = (b + c)/(b - c). (6)

Từ (4) và (6), lại do S, U cùng thuộc tia AT, nên

S ≡ U.

Vậy S nằm trên đường thẳng qua O song song AC.
Kết hợp với (1), suy ra

K, O, S thẳng hàng.

Đpcm.
c) Gọi M = KI ∩ AC. Đường thẳng AH cắt DE tại N. Chứng minh góc HNM = góc EMN

Ta sẽ chứng minh

AM = AN.

Khi đó tam giác AMN cân tại A, suy ra
góc ANM = góc AMN.

Vì A, H, N thẳng hàng và A, E, M thẳng hàng nên

góc HNM = góc ANM = góc AMN = góc EMN.

Vậy chỉ cần chứng minh AM = AN.

Ta có:
IF // AC, vì IF ⟂ AB mà AC ⟂ AB.

Lại có:
KF cùng phương KA, và KM cùng phương KI.

Xét hai tam giác KFI và KAM:

nên

tam giác KFI đồng dạng tam giác KAM.

Suy ra

AM/KA = FI/KF

hay

AM = KA . FI / KF.

Mà:
KA = AB/2 = c/2,
FI = r,
KF = KA - AF = c/2 - r.

Do đó

AM = (c/2 . r)/(c/2 - r)
= cr/(c - 2r).

Vì 2r = b + c - a nên

c - 2r = a - b,

suy ra

AM = cr/(a - b). (7)

Ta chứng minh biểu thức này bằng CE:

CE = b - r = (a + b - c)/2.

Cần chứng minh

cr/(a - b) = (a + b - c)/2.

Thay 2r = b + c - a, vế trái trở thành

c(b + c - a)/[2(a - b)].

Do
(a + b - c)(a - b)
= a² - b² - ac + bc
= c² - ac + bc
= c(b + c - a),

nên quả thật

c(b + c - a)/[2(a - b)] = (a + b - c)/2 = CE.

Từ đó suy ra

AM = CE. (8)

Xét tam giác ACH.

Vì AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên

CH = AC²/BC = b²/a. (9)

Trong tam giác ACH, đường thẳng DEN cắt AC tại E, cắt CH tại D, cắt AH tại N.
Theo hệ thức tỉ số trên tam giác ACH:

CE/EA . AN/NH . HD/DC = 1.

Mà
EA = r, CE = CD = b - r

nên

AN/NH = r/HD. (10)

Từ (9):

HD = CH - CD
= b²/a - (b - r).

Thay r = (b + c - a)/2:

HD = b²/a - (a + b - c)/2
= [2b² - a(a + b - c)]/(2a)
= [b² - c² - ab + ac]/(2a)
= [(b - c)(b + c - a)]/(2a)
= r(b - c)/a.

Thế vào (10):

AN/NH = a/(b - c). (11)

Mặt khác N nằm trên tia AH nên

AN = AH + HN.

Từ (11) suy ra

AN/(AN - AH) = a/(b - c).

Giải ra:

AN = a.AH/(a - b + c).

Lại có

AH = AB.AC/BC = bc/a,

nên

AN = bc/(a - b + c). (12)

Ta dùng hằng đẳng thức:

(a + b - c)(a - b + c)
= a² - (b - c)²
= b² + c² - (b² - 2bc + c²)
= 2bc.

Từ đó

bc/(a - b + c) = (a + b - c)/2 = CE.

Kết hợp với (12), ta được

AN = CE. (13)

Từ (8) và (13):

AM = CE = AN

suy ra

AM = AN.

Vậy tam giác AMN cân tại A, nên

góc ANM = góc AMN.

Do A, H, N thẳng hàng và A, E, M thẳng hàng, suy ra

góc HNM = góc ANM = góc AMN = góc EMN.

Đpcm.

Bài giải

V1. Cho phương trình x² - 4x + 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Tính
A = √(2x₁⁴ + 8x₁ + 9) - 5x₁

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên:
x₁² - 4x₁ + 1 = 0
=> x₁² = 4x₁ - 1

Ta có:
x₁⁴ = (x₁²)² = (4x₁ - 1)²
= 16x₁² - 8x₁ + 1
= 16(4x₁ - 1) - 8x₁ + 1
= 64x₁ - 16 - 8x₁ + 1
= 56x₁ - 15

Suy ra:
2x₁⁴ + 8x₁ + 9
= 2(56x₁ - 15) + 8x₁ + 9
= 112x₁ - 30 + 8x₁ + 9
= 120x₁ - 21

Mặt khác:
(5x₁ + 2)² = 25x₁² + 20x₁ + 4
= 25(4x₁ - 1) + 20x₁ + 4
= 100x₁ - 25 + 20x₁ + 4
= 120x₁ - 21

Vậy:
2x₁⁴ + 8x₁ + 9 = (5x₁ + 2)²

Do đó:
√(2x₁⁴ + 8x₁ + 9) = |5x₁ + 2|

Lại có:
x₁ + x₂ = 4, x₁x₂ = 1 > 0

Vì tổng dương, tích dương nên x₁, x₂ đều dương.
Suy ra 5x₁ + 2 > 0, nên:
|5x₁ + 2| = 5x₁ + 2

Vậy:
A = 5x₁ + 2 - 5x₁ = 2

Đáp số: A = 2

V2. Cho phương trình x² - 3x - 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ (biết x₁ < x₂). Tính
A = √(x₁⁴ - 25x₁ - 5) + 2x₁

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên:
x₁² - 3x₁ - 1 = 0
=> x₁² = 3x₁ + 1

Ta có:
x₁⁴ = (x₁²)² = (3x₁ + 1)²
= 9x₁² + 6x₁ + 1
= 9(3x₁ + 1) + 6x₁ + 1
= 27x₁ + 9 + 6x₁ + 1
= 33x₁ + 10

Suy ra:
x₁⁴ - 25x₁ - 5
= (33x₁ + 10) - 25x₁ - 5
= 8x₁ + 5

Mặt khác:
(2x₁ - 1)² = 4x₁² - 4x₁ + 1
= 4(3x₁ + 1) - 4x₁ + 1
= 12x₁ + 4 - 4x₁ + 1
= 8x₁ + 5

Vậy:
x₁⁴ - 25x₁ - 5 = (2x₁ - 1)²

Do đó:
√(x₁⁴ - 25x₁ - 5) = |2x₁ - 1|

Lại có:
x₁ + x₂ = 3, x₁x₂ = -1 < 0

Tích âm nên hai nghiệm trái dấu.
Vì x₁ < x₂ nên x₁ là nghiệm âm.
Suy ra:
2x₁ - 1 < 0
nên
|2x₁ - 1| = -(2x₁ - 1) = 1 - 2x₁

Vậy:
A = (1 - 2x₁) + 2x₁ = 1

Đáp số: A = 1

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là 

 và 

.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là:

-2x^2 = x - 3

2x^2 + x - 3 = 0

a + b + c = 2 + 1 - 3 = 0

PT có hai nghiệm là: x = 1 và x = -3/2

x = 1 thì y = 1 - 3 = -2

x = - 3/2 thì y = -9/2

KL:

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là:

A(1; -2); B(-3/2; -9/2)

a: THay m=1 vào phương trình, ta được:

\(x^2+\left(4-4\cdot1\right)\cdot x-8\cdot1+4=0\)

=>\(x^2-4=0\)

=>\(x^2=4\)

=>x=2 hoặc x=-2

b: \(\Delta=\left(4-4m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8m+4\right)\)

\(=16m^2-32m+16+32m-16=16m^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{-4+4m-\sqrt{16m^2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4m-4m}{2}=\frac{-4}{2}=-2\\ x=\frac{-4+4m+\sqrt{16m^2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4m+4m}{2}=\frac{8m-4}{2}=4m-2\end{array}\right.\)

\(\sqrt{x_1}-5=x_2\)

=>\(\sqrt{4m-2}-5=-2\)

=>\(\sqrt{4m-2}=3\)

=>4m-2=9

=>4m=11

=>m=11/4(nhận)