a: \(P=5+5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{102}\)

\(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdots+\left(5^{101}+5^{102}\right)\)

\(=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+\cdots+5^{101}\left(1+5\right)\)

\(=6\left(5+5^3+\cdots+5^{101}\right)\) ⋮6

b:Sửa đề: \(A=1+4+4^2+4^3+\cdots+4^{99}\)

\(=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+\cdots+\left(4^{98}+4^{99}\right)\)

\(=\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+\cdots+4^{98}\left(1+4\right)\)

\(=5\left(1+4^2+\cdots+4^{98}\right)\) ⋮5

c: \(B=1+2+2^2+\cdots+2^{98}\)

\(=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+\cdots+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}\right)\)

\(=\left(1+2+2^2\right)+2^3\left(1+2+2^2\right)+\cdots+2^{96}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(1+2^3+\cdots+2^{96}\right)\) ⋮7

d:Sửa đề: \(C=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{103}\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+\cdots+\left(3^{100}+3^{101}+3^{102}+3^{103}\right)\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+\cdots+3^{100}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=40\left(1+3^4+\cdots+3^{100}\right)\) ⋮40

CMR A = 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2

A = 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17

Vì 1/6 < 1/7 < 1/8 < 1/9 < 1/5 và 1/10 < 1/11 < 1/12 < 1/13 < 1/14 <1/15 < 1/16 < 1/17 < 1/8 nên:

A = (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) + (1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14+ 1/15 + 1/16 + 1/17)

A < (1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8+1/8 + 1/8 + 1/8)

A < 1 + 1

A < 2

Vậy: A < 2 (đpcm)

a>

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000

ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )

1/100^2<1/2

=>A<1

oke

A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^2010 

=(2+2^2)+(2^3+2^4)+...+(2^2010+2^2011)

=2.(1+2)+2^3.(1+2)+...+2^2010.(1+2)

=2.3+2^3.3+...+2^2010.3

=(2+2^3+2^2010).3

=> A chia het cho 3

​​​​ 

Mà câu c bạn đánh chia hết thành chết hết rồi kìa

Ta có: 2⁴ⁿ⁺² = 4.16ⁿ

Vì 16ⁿ luôn có số tận cùng là 6 nên 4.6ⁿ luôn có số tạn cùng là 24.

Nên suy ra:4ⁿ⁺² +1 luôn có số tạn cùng là 5 và chia hết cho 5.

Bạn Vui Nhỏ Thịnh làm đúng rồi nhưng mình chưa hiểu chỗ ta có 2^4n+2 = 4.16n. bạn giải  thích kĩ hơn đc koo

hi

2.Có A=1/5+1/6+1/7+...+1/17

            =(1/5+1/6+1/7+...+1/10)+(1/11+1/12+1/13+..+1/17)

            Tới đây bạn tự tìm xem nó có bao nhiêu phân số

            A<1/5.6+1/11.7=6/5+7/11=101/55=\(1\frac{46}{55}\)<2

VẬy A<2

1.Có A = tự viết ra

            =(1/5+1/6+..+1/10)+(1/11+1/12+..+1/17)

            Có bao nhiêu nhiêu ps tự tìm nhớ

         A>1/10 .6+1/17 .7=Tự làm các bước =86/85>1

Vậy A>1

Lời giải:
$A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{500}}$

$5A=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{499}}$
$\Rightarrow 5A-A=1-\frac{1}{5^{500}}< 1$

Hay $4A< 1$
$\Rightarrow A< \frac{1}{4}$ (đpcm)

thanks ❤️❤️❤️❤️

Đặt \(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^n}\)

\(5A=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{n-1}}\)

\(5A-A=\left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{n-1}}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^n}\right)\)

\(4A=1-\frac{1}{5^n}< 1\)

=> \(A< \frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)

Gọi dãy số trên là : A 

Ta có : \(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+......+\frac{1}{5^n}\)

\(\Rightarrow5A=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+......+\frac{1}{5^{n-1}}\)

\(\Rightarrow5A-A=\left(1+\frac{1}{5^2}+.....+\frac{1}{5^{n-1}}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+.....+\frac{1}{5^n}\right)\)

\(\Rightarrow4A=1-\frac{1}{5^n}< 1\)

\(\Rightarrow4A< 1\Rightarrow A< \frac{1}{4}\)