Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 4 dư 1. Suy ra n chẵn.

Do đó 3n + 1 là số chính phương lẻ. Suy ra 3n + 1 chia cho 8 dư 1 nên n chia hết cho 8.

Ta có số chính phương khi chia cho 5 dư 0; 1 hoặc 4.

Do đó \(2n+1;3n+1\equiv0;1;4\left(mod5\right)\).

Mặt khác \(2n+1+3n+1=5n+2\equiv2\left(mod5\right)\).

Do đó ta phải có \(2n+1;3n+1\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow n⋮5\).

Từ đó n chia hết cho 40.

Với n = 40 ta thấy thỏa mãn

Với n = 80 ta tháy không thỏa mãn.

Vậy n = 40.

$2n+1$ và $3n+1$ là các số chính phương

$⇒\begin{cases}2n+1=a^2\\3n+1=b^2\end{cases}$ với $a;b∈N$

$⇒5n+2=a^2+b^2$ 

Lại có: một số chính phương chia 5 chỉ có số dư là $0;1$ hoặc $4$

Nên $a^2+b^2$ chỉ có thể $\equiv 0;1;4;2;3(mod 5)$

Mà $5n+2 \equiv 2(mod 5)$

$⇒\begin{cases}a^2 \equiv 1(mod 5)\\b^2 \equiv 1(mod 5)\end{cases}$

Nên $2n+1 \equiv 1 (mod 5)⇒2n \vdots 5$ Mà $(2;5)=1$

$⇒n \vdots 5$

Ta có: $2n+1=a^2⇒a^2$ lẻ

Mà số chính phương lẻ chia 4 chỉ có thể dư 1 nên
$2n+1 \equiv 1 (mod 4)$

Hay $2n \vdots 4$

$⇒n \vdots 2$

$⇒3n+1$ lẻ

Xét với $a=2k+1(k∈N)$ có $a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$

Mà $4k(k+1) \vdots 8$ nên $a^2 \vdots 1 (mod 8)$

nên ta có thể thấy số chính phương lẻ chia 8 dư 1

Mà $3n+1=b^2$ là số chính phương lẻ

$⇒3n+1 \equiv 1(mod 8)$

$⇒3n \vdots 8$

Mà $(3;8)=1$

Nên $n \vdots 8$

Lại có $n \vdots 5$

$(5;8)=1$

$⇒n \vdots 5.8=40$

Hay $n$ chia hết cho 40 mà $n$ có 2 chữ số

$⇒n=40$ hoặc $n=80$

với $n=80⇒$ Loại do thay vào ko t/m

$n=40$ thỏa mãn

Vậy $n=40$ thỏa mãn đề

\(10\le n\le99\Leftrightarrow21\le2n+1\le201\)

\(2n+1\) là số chính phương lẻ nên

\(2n+1\in\left\{25;49;81;121;169\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{12;24;40;60;84\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{37;73;121;181;253\right\}\)

\(\Leftrightarrow n=40\)

cộng r kìa

:))

Để giải bài này ta dùng phương pháp chặn em nhé.

Vì n là số tự nhiên có hai chữ số nên 10 ≤ n ≤ 99

⇒ 3 \(\times\) 10 - 2 ≤ 3n - 2 ≤ 3 \(\times\) 99 - 2 

⇒ 28 ≤ 3n - 2 ≤ 295

Vì 3n - 2;  2n - 1 đều  là số chính phương nên ta có:

3n - 2 = m²

2n - 1 = k² ( k, m \(\in\) N)

Trừ vế với vế ta có  n - 1 = m² - k² ⇒ 2(n-1) = 2(m² - k²)

⇒2n - 1 - 1 = 2m² - 2k²

⇒ k² - 1 = 2m² - 2k²

⇒ 3k² = 2m² + 1

⇒ k² = (2m² + 1)/3

28 ≤ 3n  - 2 ≤ 295

28 ≤ m² ≤ 295

⇒ 6 ≤ m ≤ 17 

2m² + 1 ⋮ 3 ⇒ m² không chia hết cho 3

⇒ m \(\in\) { 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17}

Với m = 7 ⇒ k² = ( 2.49 + 1)/3 = 33 (loại)

      m = 8 ⇒ k² = (2.64 +1)/3 = 43 (loại)

      m = 10 ⇒ k² = (2.100 +1)/3 = 67 (loại)

      m = 11 ⇒ k² = ( 2. 121 +1)/3 = 81 (thỏa mãn)

     m = 13 ⇒ k² = ( 2.169 + 1)/3 =113 (loại)

      m = 14 ⇒ k² = (2. 196 + 1)/3 = 131 (loại)

      m = 16 ⇒ k² = ( 2.256 +1)/3 = 171 (loại)

     m = 17 ⇒ k² = (2.289 +1)/3 = 193 (loại)

     Vậy m = 11 ⇒ 3n - 2 = 11² = 121 ⇒ 3n = 121 + 2 = 123

 ⇒ n =  123 : 3 = 41

Kết luận n = 41