Cho 3 số a,b và c >) thỏa mãn:\(\frac{A+B-3C}{C}=\frac{B+C-3A}{A}=\frac{C+A-3B}{B}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 12 2018
Theo tc của DTSBN
\(\frac{a+b-3c}{c}=\frac{b+c-3a}{a}=\frac{c+a-3b}{b}=\frac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}\)
\(=\frac{-a-b-c}{a+b+c}=-1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-3c=-c\\b+c-3a=-a\\c+a-3b=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
18 tháng 11 2017
\(P=\frac{2a+3b+3c-1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2c+1}{2017+c}\)
\(=\frac{6047-a}{2015+a}+\frac{6048-b}{2016+b}+\frac{6049-c}{2017+c}\)
\(=\frac{8062}{2015+a}+\frac{8064}{2016+b}+\frac{8066}{2017+c}-3\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{8062}+\sqrt{8064}+\sqrt{8066}\right)^2}{2015+2016+2017+a+b+c}-3=\frac{\left(\sqrt{8062}+\sqrt{8064}+\sqrt{8066}\right)^2}{8064}-3\)
Dấu = xảy ra khi ....
TN
13 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(9a^3+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{9a^3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}=3a\)
\(3b^2+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{3b^2\cdot\frac{1}{3}}=2b\)
Do đó: \(A\le\text{∑}\frac{a}{3a+2b+c-1}=\frac{a}{2a+b}\left(a+b+c=1\right)\)
\(2A\le\text{∑}\frac{2a}{2a+b}=3-\text{∑}\frac{b}{2a+b}=3-\text{∑}\frac{b^2}{2ab+b^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(2A\le3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=2\Leftrightarrow A\le1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
13 tháng 12 2016
Ngoài http://olm.vn/hoi-dap/question/779981.html còn cách khác
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(9a^3+3a^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow A\le\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\text{∑}\left(\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac\right)\)
\(=\frac{1}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\text{∑}ab\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
8 tháng 8 2020
Bài làm:
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=5\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a+b+c=5a\\a+3b+c=5b\\a+b+3c=5c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=3a\\a+b+c=3b\\a+b+c=3c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
Vậy \(P=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}=2+2+2=6\)
Vậy P = 6
XO
8 tháng 8 2020
Vì a ; b ; c > 0 => a + b + c > 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{3a+b+c+a+3b+c+a+b+3c}{a+b+c}\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=5\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a+b+c=5a\\a+3b+c=5b\\a+b+3c=5c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}\)
Khi đó P = \(\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}=2+2+2=6\)
7 tháng 3 2018
Ta có :
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}=\frac{3a-b+3b-c+3c-a}{a+b+c}=\frac{3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(3-1\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2}{1}=2\)
Do đó :
\(\frac{3a-b}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(3a-b=2c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{3b-c}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(3b-c=2a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{3c-a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(3c-a=2b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào A ta có :
\(A=\frac{a}{2b-3c}+\frac{b}{2c-3a}+\frac{c}{2a-3b}\)
\(A=\frac{a}{3c-a-3c}+\frac{b}{3a-b-3a}+\frac{c}{3b-c-3b}\)
\(A=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}\)
\(A=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)
\(A=-3\)
Vậy \(A=-3\)
Chúc bạn học tốt
VT
4 tháng 11 2017
Áp dụng bất đẳng thức Svác xơ ngược ta có
\(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{a+b+a+c+2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)\)
tương tự mấy cái kia rồi cộng vào
- a+b−3c=kc⟹a+b=(k+3)ca plus b minus 3 c equals k c ⟹ a plus b equals open paren k plus 3 close paren c𝑎+𝑏−3𝑐=𝑘𝑐⟹𝑎+𝑏=(𝑘+3)𝑐
- b+c−3a=ka⟹b+c=(k+3)ab plus c minus 3 a equals k a ⟹ b plus c equals open paren k plus 3 close paren a𝑏+𝑐−3𝑎=𝑘𝑎⟹𝑏+𝑐=(𝑘+3)𝑎
- c+a−3b=kb⟹c+a=(k+3)bc plus a minus 3 b equals k b ⟹ c plus a equals open paren k plus 3 close paren b𝑐+𝑎−3𝑏=𝑘𝑏⟹𝑐+𝑎=(𝑘+3)𝑏
Bước 2: Tìm giá trị của kk𝑘 Cộng vế theo vế ba phương trình trên, ta được:(a+b)+(b+c)+(c+a)=(k+3)c+(k+3)a+(k+3)bopen paren a plus b close paren plus open paren b plus c close paren plus open paren c plus a close paren equals open paren k plus 3 close paren c plus open paren k plus 3 close paren a plus open paren k plus 3 close paren b(𝑎+𝑏)+(𝑏+𝑐)+(𝑐+𝑎)=(𝑘+3)𝑐+(𝑘+3)𝑎+(𝑘+3)𝑏 2(a+b+c)=(k+3)(a+b+c)2 open paren a plus b plus c close paren equals open paren k plus 3 close paren open paren a plus b plus c close paren2(𝑎+𝑏+𝑐)=(𝑘+3)(𝑎+𝑏+𝑐) Vì a,b,c>0a comma b comma c is greater than 0𝑎,𝑏,𝑐>0 nên a+b+c>0a plus b plus c is greater than 0𝑎+𝑏+𝑐>0. Do đó, ta có thể chia cả hai vế cho (a+b+c)open paren a plus b plus c close paren(𝑎+𝑏+𝑐):
2=k+3⟹k=2−3=-12 equals k plus 3 ⟹ k equals 2 minus 3 equals negative 12=𝑘+3⟹𝑘=2−3=−1 Bước 3: Tìm mối quan hệ giữa a,b,ca comma b comma c𝑎,𝑏,𝑐 Thay giá trị k=-1k equals negative 1𝑘=−1 vào các phương trình ở Bước 1, ta được:
- a+b=(-1+3)c⟹a+b=2ca plus b equals open paren negative 1 plus 3 close paren c ⟹ a plus b equals 2 c𝑎+𝑏=(−1+3)𝑐⟹𝑎+𝑏=2𝑐
- b+c=(-1+3)a⟹b+c=2ab plus c equals open paren negative 1 plus 3 close paren a ⟹ b plus c equals 2 a𝑏+𝑐=(−1+3)𝑎⟹𝑏+𝑐=2𝑎
- c+a=(-1+3)b⟹c+a=2bc plus a equals open paren negative 1 plus 3 close paren b ⟹ c plus a equals 2 b𝑐+𝑎=(−1+3)𝑏⟹𝑐+𝑎=2𝑏
Từ phương trình a+b=2ca plus b equals 2 c𝑎+𝑏=2𝑐, ta có a+b−c=ca plus b minus c equals c𝑎+𝑏−𝑐=𝑐.Từ phương trình b+c=2ab plus c equals 2 a𝑏+𝑐=2𝑎, ta có b+c−a=ab plus c minus a equals a𝑏+𝑐−𝑎=𝑎.
Từ phương trình c+a=2bc plus a equals 2 b𝑐+𝑎=2𝑏, ta có c+a−b=bc plus a minus b equals b𝑐+𝑎−𝑏=𝑏. Để chứng minh a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐, ta có thể lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1):
(b+c)−(a+b)=2a−2copen paren b plus c close paren minus open paren a plus b close paren equals 2 a minus 2 c(𝑏+𝑐)−(𝑎+𝑏)=2𝑎−2𝑐 c−a=2a−2cc minus a equals 2 a minus 2 c𝑐−𝑎=2𝑎−2𝑐 3c=3a⟹a=c3 c equals 3 a ⟹ a equals c3𝑐=3𝑎⟹𝑎=𝑐 Tương tự, lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (2):
(c+a)−(b+c)=2b−2aopen paren c plus a close paren minus open paren b plus c close paren equals 2 b minus 2 a(𝑐+𝑎)−(𝑏+𝑐)=2𝑏−2𝑎 a−b=2b−2aa minus b equals 2 b minus 2 a𝑎−𝑏=2𝑏−2𝑎 3a=3b⟹a=b3 a equals 3 b ⟹ a equals b3𝑎=3𝑏⟹𝑎=𝑏 Từ a=ca equals c𝑎=𝑐 và a=ba equals b𝑎=𝑏, ta suy ra a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐.
Đáp án: Ba số a,b,ca comma b comma c𝑎,𝑏,𝑐 thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐.