B A C E K H D I

\(\text{a) Ta có : }AH//DE\left(Cùng\text{ }\perp BC\right)\\ \Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{ADE}\left(So\text{ }le\text{ }trong\right)\\ AC//DK\left(Cùng\text{ }\perp AB\right)\\ \Rightarrow\widehat{KDA}=\widehat{EAD}\left(So\text{ }le\text{ }trong\right)\)

Lại có : Trong tứ giác AKHD có \(:\widehat{AKD}=\widehat{AHD}=90^0\)

=> Tứ giác AKHD là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{KHI}=\widehat{KDA}\Rightarrow\widehat{KHI}=\widehat{DAE}\\ \Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{HKI}\Rightarrow\widehat{HKI}=\widehat{ADE}\)

Xét \(\Delta KIH\text{ và }\Delta DEA\text{ }có:\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HKI}=\widehat{ADE}\\\widehat{KHI}=\widehat{DAE}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta KIH\sim\Delta DEA\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\frac{IK}{ED}=\frac{IH}{EA}\Rightarrow IK\cdot EA=IH\cdot EH\)

b)

\(Ta\text{ }có:AE//ID\left(I\in AH;E\in AC\right)\\ \Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{DIE}\left(So\text{ }le\text{ }trong\right)\\ Mà\text{ }\widehat{KIB}=\widehat{DIE}\left(đối\text{ }đỉnh\right)\\ \Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{KIB}\\ \Rightarrow\widehat{AEI}+\widehat{EIK}=\widehat{KIB}+\widehat{KIE}\\ Mà\text{ }\widehat{AEI}+\widehat{EIK}=180^o\left(trong\text{ }cùng\text{ }phía\right)\\ \Rightarrow\widehat{KIB}+\widehat{KIE}=180^o\\ \Rightarrow I;B;E\text{ }thẳng\text{ }hàng\)

Trong tứ giác ABDE có:

=> Tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADE}\)

Trong tứ giác KBHI có: \(\widehat{IKB}+\widehat{IHB}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác KBHI là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{KBI}=\widehat{KHI}\\ Hay\text{ }\widehat{ABE}=\widehat{KHA}\left(K\in AB;I\in BE;AH\right)\\ \Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{KHA}\\ Mà\text{ }\widehat{KDA}=\widehat{KHA}\left(Chứng\text{ }minh\text{ }ý\text{ }a\right)\\ \Rightarrow\widehat{KDA}=\widehat{ADE}\\ \Rightarrow DA\text{ }là\text{ }phân\text{ }giác\text{ }\widehat{IDE}\left(1\right)\)

\(Lại\text{ }có:ID//AE\left(I\in DK;E\in AC\right)\\ IA//DE\left(I\in AH;E\in AC\right)\\ \Rightarrow Tứ\text{ }giác\text{ }AIDE\text{ }là\text{ }hình\text{ }bình\text{ }hành\left(2\right)\\ Từ\text{ }\left(1\right)\text{ }và\text{ }\left(2\right)\Rightarrow Tứ\text{ }giác\text{ }AIDE\text{ }là\text{ }hình\text{ }thoi\\ \Rightarrow IE\perp AD\Rightarrow BE\perp AD\left(I\in BE\right)\\ \Rightarrow IA=ID\Rightarrow\Delta AID\text{ }cân\text{ }I\\ \Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\\ \Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IHK}\left(\widehat{IDA}=\widehat{IHK}\right)\\ \Rightarrow HK//AD\left(2\text{ }góc\text{ }so\text{ }le\text{ }trong\text{ }=\text{ }nhau\right)\\ \Rightarrow BE\perp HK\)

a: Ta có: H và D đối xứng với nhau qua AB

nên AH=AD; BH=BD

=>ΔHAD cân tại A

=>AB là phân giác của góc HAD(1)

Ta có H và E đối xứngvới nhau qua AC

nên AH=AE; CH=CE

=>ΔAHE cân tại A

=>AC là phân giác của góc HAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc DAE=2xgóc BAC=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

Suy ra: góc ADB=90 độ

=>BD vuông góc với DE(3)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

HC=EC

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

Suy ra: góc AEC=90 độ

=>CE vuông góc với ED(4)

Từ (3) và (4) suy ra BDEC là hình thang vuông

c: ED=AE+AD
=AH+AH=2AH

d: Xét ΔDHE có 

HA là đường trung tuyến

HA=DE/2

Do đó: ΔDHE vuông tại H

cảm ơn bạn nha

A B C D E F

a, Ta có:

\(AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25\)

\(BC^2=5^2=25\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

Do đó tam giác ABC vuông tại A(áp dụng định lý Pytago đảo) (đpcm)

b, Xét tam giác ADB vuông tại A và tam giác EDB vuông tại E ta có:

BD: chung; AB=EB(gt)

Do đó tam giác ADB=tam giác EDB(cạnh huyền - góc nhọn)

=> AD=ED(cặp cạnh tương ứng) (1) (đpcm)

Xét tam giác AFD vuông tại A ta có:

DF>AD (do trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DF>DE(đpcm)

c, Chứng mình được tam giác AFD= tam giác ECD(g.c.g)

=> AF=EC (cặp cạnh tương ứng)(*)

mà tam giác ADB=tam giác EDB(cmt)

=> AB=EB(cặp cạnh tương ứng)(**);\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (cặp góc tương ứng)(***)

Từ (*) và (**) suy ra: AF+AB=EC+EB=>BF=BC

=> tam giác BCF cân tại B.

Gọi giao điểm của BD và EC là H.

Xét tam giác BHF và tam giác BHC ta có:

BF=BC(cmt);\(\widehat{FBH}=\widehat{CBH}\) (cmt); BH:chung

Do đó tam giác BHF=tam giác BHC(c.g.c)

=> \(\widehat{BHF}=\widehat{BHC}\) mà \(\widehat{BHF}+\widehat{BHC}=180^o\)

=> \(\widehat{BHF}=\widehat{BHC}=90^o\)

=> \(BH\perp FC\) hay \(BD\perp FC\)(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

a) Ta có : 3² = 9

4² = 16

5² = 25

Mà 3² +4² = 16 +9 = 25 = 5²

^=> \(\Delta\)ABC vuông tại A

b) Xét 2 \(\Delta\)vuông ABD và EBD có :

BA = BE ( gt)

BD : cạnh chung

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD ( cạnh góc vuông - cạnh huyền)

=> DA = DE ( 2 cạnh t/ứng)

Xét \(\Delta\)DAF vuông tại A nên DA < DF . mà DA = DE

=> DE < DF

c) 2 đường cao của \(\Delta\)BFC cắt nhau tại D nên D là trực tâm .

=> BD cùng là đường cao

=> BD vuông góc với FC .

a) Sửa đề: Chứng minh BDEC là hình thang cân

Ta có: AD+DB=AB(D nằm giữa A và B)

AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)

mà AD=AE(gt)

và AB=AC(ΔABC vuông cân tại A)

nên DB=EC

\(\Rightarrow\frac{DB}{EC}=1\)

mà \(\frac{AD}{AE}=1\)(vì AD=AE)

nên \(\frac{AD}{AE}=\frac{DB}{EC}\)

hay \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)

Xét ΔABC có

\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)(cmt)

Do đó: DE//BC(định lí Ta lét đảo)

Ta có: ΔABC vuông cân tại A(gt)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=45^0\)(số đo của các góc ở đáy trong ΔABC vuông cân tại A)

hay \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

Xét tứ giác BDEC có DE//BC(cmt)

nên BDEC là hình thang(định nghĩa hình thang)

Xét hình thang BDEC có \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(cmt)

nên BDEC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Hình bạn tự vẽ nha

\(BM\cdot BD+CM\cdot CA=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BM\cdot BD+CM\cdot CA=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2-AC\cdot CM+AB^2-BM\cdot BD=0\)

\(\Leftrightarrow AC\left(AC-CM\right)+BM^2-AM^2-BM\cdot BD=0\)

\(\Leftrightarrow AC\cdot AM-AM^2-BM\left(BD-BM\right)=0\)

\(\Leftrightarrow AM\left(AC-AM\right)-BM\cdot MD=0\)

\(\Leftrightarrow AM\cdot MC-BM\cdot MD=0\left(1\right)\)

Lại có:\(\Delta DMC\sim AMB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MD}{AM}\)

\(\Rightarrow AM\cdot MC=BM\cdot MD\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)