a: Xét ΔDEF có \(EF^2=DE^2+DF^2\)

nên ΔDEF vuông tại D

Bài 1: ( Tự vẽ hình )

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông DEF

\(TanF=\frac{DE}{DF}=\frac{3}{5}\)

\(TanF=31\)

Bài 2: ( Tự vẽ hình, gợi ý: Vẽ tam giác vuông ABC chọn góc \(\widehat{B}\)là góc \(\alpha\))

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC:

\(BC^2=AC^2+AB^2\)

\(1+cot^2\alpha=1+\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{AC^2+AB^2}{AC^2}\)

\(1+cot^2\alpha=\frac{BC^2}{AC^2}=1:\frac{AC^2}{BC^2}\)

\(1+cot^2\alpha=1:sin^2\alpha\)

\(1+cot^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}\)

a: Xét ΔFID vuông tại I và ΔFDE vuông tại D có

\(\hat{DFE}\) chung

Do đó: ΔFID~ΔFDE

b: Gọi M là giao điểm của IH và KE

Xét ΔEKD có MH//KD

nên \(\frac{MH}{KD}=\frac{EM}{EK}\left(1\right)\)

Xét ΔEKF có IM//KF

nên \(\frac{IM}{KF}=\frac{EM}{EK}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MH}{DK}=\frac{IM}{KF}\)

mà DK=KF

nên MH=IM

=>M là trung điểm của IH

Xét ΔODF và ΔOIH có

\(\hat{ODF}=\hat{OIH}\) (hai góc so le trong, DF//IH)

\(\hat{DOF}=\hat{IOH}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔODF~ΔOIH

=>\(\frac{OD}{OI}=\frac{DF}{IH}=\frac{2\cdot DK}{2\cdot IM}=\frac{DK}{IM}\)

Xét ΔODK và ΔOIM có

\(\frac{OD}{OI}=\frac{DK}{IM}\)

\(\hat{ODK}=\hat{OIM}\) (hai góc so le trong, DK//IM)

DO đó: ΔODK~ΔOIM

=>\(\hat{DOK}=\hat{IOM}\)

mà \(\hat{DOK}+\hat{KOI}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{KOI}+\hat{IOM}=180^0\)

=>K,O,M thẳng hàng

mà K,M,E thẳng hàng

nên K,O,M,E thẳng hàng

hay O,K,E thẳng hàng

sin E = DF/EF = 3/4. Đặt DF = 3x; EF = 4x.

Theo định lý Pytago, ta có:

DE^2 + DF^2 = EF^2. => 5^2 + (3x)^2 = (4x)^2.

=> 25 + 9x^2 = 16x^2. => 25 = 7x^2. => x = Căn(25/7).

=> DF = 3.Căn(25/7) cm; EF = 4.Căn(25/7) cm.

a) Kẻ đường cao EH của tam giác

Xét tam giác vuông DEH vuông tại H ta có

sinD = EH/ED => EH = sinD . ED = sin60⁰ . 6 = \(\frac{\sqrt[]{3}}{2}.6=3\sqrt{3}cm\)

Diện tích tam giác DEF là : \(\frac{1}{2}\times EH\times DF=\frac{1}{2}.3\sqrt{3}.8=12\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

b)xét tam giác EDH có: DH = cosD . ED = 1/2 .  6 = 3 cm

ta lại có:  HF = DF - DH = 8 - 3 = 5 cm

Xét tam giác vuông EHF. theo pitago ta có

EF² = EH² + HF = \(\left(3\sqrt{3}\right)^2+5^2=27+25=52\)

EF = \(\sqrt{52}\)

a, Xét \(\Delta\)DEF và \(\Delta\)HED ta cs 

^EDF = ^EHD = 90⁰

^E - chug 

=> \(\Delta\)DEF đồng dạng \(\Delta\)HED 

b, Xét \(\Delta\)DEF và \(\Delta\)HDF ta cs

^EDF = ^DHF = 90⁰

^F - chug 

=> \(\Delta\)DEF đồng dạng \(\Delta\)HDF 

=> \(\frac{DF}{EF}=\frac{FH}{DF}\)( đ/n )

=> DF² =  FH . EF

c, chưa nghĩ ra