Em không chắc đâu ạ.

\(PT\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2-2\left(a+b\right)+1=0\)

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(a+b\right)^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4ab\ge0\Leftrightarrow ab\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)

Với a = 0 thì \(b^2-2b+1=0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow b=1\)

Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (1)

Tương tự ta cũng có với b = 0 thì a = 1.

Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm.

Ơ chết,hình như mình sai thì phải

Ta có:  \(a^{2} + b^{2} + 1 = 2 \left(\right. a b + a + b \left.\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^{2} + b^{2} + 1 - 2 a b - 2 a - 2 b = 0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right) - 2 a + 2 b + 1 - 4 b = 0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left(\right. a - b \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. a - b \left.\right) + 1 = 4 b\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left(\right. a - b - 1 \left.\right)\right)^{2} = 4 b\)                                                             \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Do đó \(4 b\)là một số chính phương, mà 4 là số chính phương suy ra b là số chính phương.

Đặt  \(b = x^{2} ,\)thay vào \(\left(\right. 1 \left.\right)\):                           \(\left(\left(\right. a - x^{2} - 1 \left.\right)\right)^{2} = 4 x^{2}\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(\left(\right. a - x^{2} - 1 \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. 2 x \left.\right)\right)^{2}\)

                  * Xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: \(a - x^{2} - 1 = 2 x\)\(\Leftrightarrow\)\(a = x^{2} + 2 x + 1 = \left(\left(\right. x + 1 \left.\right)\right)^{2}\)

Ta có  \(b = x^{2}\)và  \(a = \left(\left(\right. x + 1 \left.\right)\right)^{2}\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

- Trường hợp 2:  \(a - x^{2} - 1 = - 2 x\)\(\Leftrightarrow\)\(a = x^{2} - 2 x + 1 = \left(\left(\right. x - 1 \left.\right)\right)^{2}\)

Ta có  \(b = x^{2}\)và  \(a = \left(\left(\right. x - 1 \left.\right)\right)^{2}\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

                           Vậy  \(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

Ta có:  \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)-2a+2b+1-4b=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2-2\left(a-b\right)+1=4b\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b-1\right)^2=4b\)                                                             \(\left(1\right)\)

Do đó \(4b\)là một số chính phương, mà 4 là số chính phương suy ra b là số chính phương.

Đặt  \(b=x^2,\)thay vào \(\left(1\right)\):                           \(\left(a-x^2-1\right)^2=4x^2\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-x^2-1\right)^2=\left(2x\right)^2\)

                  * Xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: \(a-x^2-1=2x\)\(\Leftrightarrow\)\(a=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)

Ta có  \(b=x^2\)và  \(a=\left(x+1\right)^2\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

- Trường hợp 2:  \(a-x^2-1=-2x\)\(\Leftrightarrow\)\(a=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)

Ta có  \(b=x^2\)và  \(a=\left(x-1\right)^2\)\(\Rightarrow\)\(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

                           Vậy  \(a\)và  \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.

hi chao ban

thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc

Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)

+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)

Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).

Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)

Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).

Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.

Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.

Vậy ....

\(\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a^2+n^2}{b^2+n^2}-1\Rightarrow\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{b^2+n^2}\)

TH1: \(a=b\) thì \(ab=a^2\) là SCP

TH2: \(a\ne b\Rightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{b^2+n^2}\)

\(\Rightarrow b^2+n^2=b\left(a+b\right)\Rightarrow ab=n^2\) là SCP

Đặt k=a2+b2ab+1(k∈Z)k=a2+b2ab+1(k∈Z)  
Giả sử kk không là số chính phương 
Cố định số nguyên dương kk, sẽ tồn tại cặp (a,b)(a,b) . Ta kí hiệu 
S={(a,b)∈NxN|a2+b2ab+1=k}S={(a,b)∈NxN|a2+b2ab+1=k} 
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc SS tồn tại (A,B)(A,B) sao cho A+BA+B đạt min 
Giả sử A≥B>0A≥B>0 . Cố định BB ta còn số nữa khác AA thảo phương trình k=x+B2xB+1k=x+B2xB+1 
⇔x2−kBx+B2−k=0⇔x2−kBx+B2−k=0 phương trình có nghiệm AA
Theo Viet : {A+x2=kBA.x2=B2−k{A+x2=kBA.x2=B2−k 
Suy ra x2=kB−A=B2−kAx2=kB−A=B2−kA 
Dễ thấy x2x2 nguyên. 
Nếu x2<0x2<0 thì x22−kBx2+B2−k≥x22+k+B2−k>0x22−kBx2+B2−k≥x22+k+B2−k>0 (vô lí) . Suy ra x2≥0x2≥0 do đó (x2,B)∈S(x2,B)∈S  
Do A≥B>0⇒x2=B2−kA<A2−kA<AA≥B>0⇒x2=B2−kA<A2−kA<A 
Suy ra x2+B<A+Bx2+B<A+B (trái với giả sử A+BA+B đạt min) 
Suy ra kk là số chính phương