Tìm GTLN GTNN của P=\(\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 2 2017
Đk: \(x\ge2;y\ge-1;0< x+y\le9\)
Ta có: \(\sqrt{2x-4}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2(y+1)}\leq\sqrt{3(x+y-1)}\)
Từ giả thiết suy ra
\(x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\Rightarrow x+y-1\leq\sqrt{3(x+y-1)}\)
Vậy \(1\leq(x+y)\leq4\). Đặt \(\left\{\begin{matrix}t=x+y\\t\in\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\) ta có:
\(P=t^2-\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\)
\(P'\left(t\right)=2t+\frac{1}{2\sqrt{9-t}}-\frac{1}{2t\sqrt{t}}>0\forall t\in\left[1;4\right]\)
Vậy \(P\left(t\right)\) đồng biến trên \([1;4]\)
Suy ra \(P_{max}=P\left(4\right)=4^2-\sqrt{9-4}+\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{33-2\sqrt{5}}{2}\) khi \(\left\{\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(P_{min}=P\left(1\right)=2-2\sqrt{2}\) khi \(\left\{\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
22 tháng 11 2021
\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
19 tháng 9 2020
Mình tách thành hai phần nhìn cho dễ hiểu nhé !
ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\\x\ne9\end{cases}}\)
+) \(\frac{x-3\sqrt{x}}{x-9}-1=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-1\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-1=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\)
+) \(\frac{9-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\)
\(=\frac{9-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{9-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{9-x+x-9-x+4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{4-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
=> \(\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\div\frac{4-x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\times\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{4-x}\)
\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-4}=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
0
6
8 tháng 1 2019
a,\(\frac{x}{\sqrt{x}+1}=\frac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\left(\sqrt{x}-1\right)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\ge2.\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)
\(\Leftrightarrow x=4\left(t/m\right)\)
Dmin = 4 <=> x=4
b,\(\frac{\sqrt{x-9}}{5x}\)
\(\sqrt{x-9}=\sqrt{\frac{\left(x-9\right).9}{9}}=\frac{1}{3}.\sqrt{\left(x-9\right).9}\le\frac{1}{3}.\frac{x-9+9}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow D\le\frac{x}{\frac{6}{5x}}=\frac{x}{30x}=\frac{1}{30}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-9=9\Leftrightarrow x=18\)
Dmax=\(\frac{1}{30}\Leftrightarrow x=18\)
P/s : ko chắc lắm
8 tháng 1 2019
\(a)\)\(P=\frac{x}{\sqrt{x}+1}=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(P=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\frac{1}{\sqrt{x}+1}}-2=2-2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}+1=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=0\)
...
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
26 tháng 7 2023
1:
a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)
căn x+1>=1
=>2/căn x+1<=2
=>-2/căn x+1>=-2
=>A>=-2+1=-1
Dấu = xảy ra khi x=0
b: 
6 tháng 9 2023
\(B=\dfrac{x-\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-\left(x+1\right)}\)
\(B\) xác định \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\sqrt[]{x}-\left(x+1\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2+x+1\ne0,\forall x\in R\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\ge0\)
\(\Leftrightarrow B=\dfrac{x-\sqrt[]{x}+1-1}{-\left(x-\sqrt[]{x}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow B=-1+\dfrac{1}{x-\sqrt[]{x}+1}\)
\(\Leftrightarrow B=-1+\dfrac{1}{x-\sqrt[]{x}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1}\)
\(\Leftrightarrow B=-1+\dfrac{1}{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\)
mà \(\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4},\forall x\ge0\)
\(\Rightarrow B=-1+\dfrac{1}{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le-1+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow GTLN\left(B\right)=\dfrac{1}{3}\left(tại.x=\dfrac{1}{4}\right)\)
P
24 tháng 9 2023
a) \(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8x}{x-4}\right):\left[\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]\)
\(P=\left[\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\dfrac{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\left[\dfrac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\dfrac{-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\dfrac{4x-8\sqrt{x}-8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\dfrac{-4x-8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(P=\dfrac{-4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{-\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(P=\dfrac{-4\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{-\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)
b) \(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)
\(P=4\left(\sqrt{x}-3\right)+\dfrac{36}{\sqrt{x}-3}+24\)
Theo BĐT côsi ta có:
\(P\ge\sqrt{\dfrac{4\left(\sqrt{x}-3\right)\cdot36}{\sqrt{x}-3}}+24=36\)
Vậy: \(P_{min}=36\Leftrightarrow x=36\)
\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\)
\(\Rightarrow P^2\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\right)^2=9+2\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge9\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(P_{\min}=3\) khi x=0 hoặc x=9
\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\le\sqrt{2\left(x+9-x\right)}+\frac12\left(x+9-x\right)=\frac92+3\sqrt2\)
\(P_{max}=\frac92+3\sqrt2\) khi \(x=9-x\Rightarrow x=\frac92\)
Bước 1: Viết lại biểu thức cho dễ nhìn
\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)
Bước 2: Tìm đạo hàm của \(P\)
\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)
Đạo hàm từng phần:
\(u = x , v = 9 - x \Rightarrow u^{'} = 1 , v^{'} = - 1\)\(\left(\left(\right. \frac{u}{v} \left.\right)\right)^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{1 \cdot \left(\right. 9 - x \left.\right) - x \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9 - x + x}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}}\)
\(9 - 2 x\)
Vậy đạo hàm của \(P\) là:
\(P^{'} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x\)
Bước 3: Tìm nghiệm của \(P^{'} = 0\)
\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x = 0\)
Chuyển vế:
\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = 2 x - 9\)
Lưu ý: Để vế phải \(2 x - 9\) dương (vì vế trái luôn dương), ta có:
\(2 x - 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{2} = 4.5\)
Nhân hai vế với \(\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\):
\(9 = \left(\right. 2 x - 9 \left.\right) \left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\)
Đặt \(t = 9 - x\), khi \(x > 4.5 \Rightarrow t = 9 - x < 4.5\).
Thay \(x = 9 - t\):
\(9 = \left(\right. 2 \left(\right. 9 - t \left.\right) - 9 \left.\right) \cdot t^{2} = \left(\right. 18 - 2 t - 9 \left.\right) t^{2} = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2}\)
Ta có:
\(9 = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2} = 9 t^{2} - 2 t^{3}\)
Chuyển hết về một phía:
\(9 t^{2} - 2 t^{3} - 9 = 0\)
Hay:
\(- 2 t^{3} + 9 t^{2} - 9 = 0\)
Nhân cả phương trình với -1 để thuận tiện:
\(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)
Bước 4: Giải phương trình \(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)
Thử các nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ:
\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 9 = 2 - 9 + 9 = 2 \neq 0\)
\(2 \left(\right. 27 \left.\right) - 9 \left(\right. 9 \left.\right) + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18 \neq 0\)
\(2 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{2} + 9 = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 \neq 0\)
\(2 \left(\right. 8 \left.\right) - 9 \left(\right. 4 \left.\right) + 9 = 16 - 36 + 9 = - 11 \neq 0\)
Không tìm được nghiệm nguyên, dùng phương pháp đồ thị hoặc nghiệm gần đúng.
Bước 5: Tính giá trị gần đúng nghiệm \(t\)
Ta có hàm:
\(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 9\)
Vậy nghiệm nằm trong khoảng \(\left(\right. 4 , 5 \left.\right)\).
Tiếp tục thử \(t = 4.5\):
\(f \left(\right. 4.5 \left.\right) = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 > 0\)
Có vẻ trước đó tính sai, ta kiểm tra lại:
\(t = 4.25 \Rightarrow f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} - 9 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} + 9\)\(\left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} = 76.765625 , \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} = 18.0625\)\(f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot 76.765625 - 9 \cdot 18.0625 + 9 = 153.53125 - + 9 = - 0.03125\)
Gần bằng 0, nghiệm ở gần \(4.25\).
Bước 6: Tính nghiệm x
\(t \approx 4.25 \Rightarrow x = 9 - t = 9 - 4.25 = 4.75\)
Bước 7: Tính giá trị \(P\) tại \(x = 4.75\)
\(P = \frac{4.75}{9 - 4.75} + 4.75 \left(\right. 9 - 4.75 \left.\right) = \frac{4.75}{4.25} + 4.75 \times 4.25\)\(\frac{4.75}{4.25} \approx 1.1176 , 4.75 \times 4.25 = 20.1875\)\(P \approx 1.1176 + 20.1875 = 21.3051\)
Bước 8: Xét giới hạn tại biên \(x \rightarrow 0^{+}\) và \(x \rightarrow 9^{-}\)
\(P \rightarrow \frac{0}{9} + 0 \times 9 = 0\)
\(\frac{x}{9 - x} \rightarrow + \infty , x \left(\right. 9 - x \left.\right) \rightarrow 0\)
Nên \(P \rightarrow + \infty\).
Kết luận:
Vì \(P \rightarrow + \infty\) gần biên \(x \rightarrow 9^{-}\), nên không có GTLN hữu hạn trên khoảng \(\left(\right. 0 , 9 \left.\right)\).
Còn GTNN là khoảng \(x \rightarrow 0\) hoặc tại cực trị \(x = 4.75\).