Cho các mệnh đề:

1. Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên $\left(a;b\right)$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì tồn tại $x_0\in \left(a;b\right)$ sao cho  $f\left(x_0\right)=0.$

2. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm.

3. Nếu hàm số y=f(x) liên tục, đơn điệu trên $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình  $f\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ .

Trong ba mệnh đề trên

 Cho hàm số $f:\left[a;b\right]\to \left[a;b\right]$ liên tục trên $\left[a,b\right]$ với $a<b$ thỏa mãn $\left|f\left(\alpha \right)-f\left(\beta \right)\right|<\left|\alpha -\beta \right|$, $\forall \alpha ,\beta \in \left[a;b\right]$ phân biệt. Chứng minh rằng $\exists !\gamma \in \left[a;b\right]:f\left(\gamma \right)=\gamma$

 (Ở đây kí hiệu $\exists !$ nghĩa là tồn tại duy nhất)

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y=f'(x) hình trên. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số $y=f\left(x\right)-2x+2018$ là đúng?

Cho các mệnh đề :

1) Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì nó liến tục tại  $x_0$. 

2) Hàm số y=f(x) liên tục tại  $x_0$ thì nó có đạo hàm tại điểm  $x_0$.

3) Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a;b).

4) Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a;b] thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Số mệnh đề đúng là:

Cho khoảng K, $x_0 \in K$ và hàm số y = f(x) xác định trên $K \backslash \left\{x_0\right\}$

Chứng minh rằng nếu  $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x ) = +\infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc sao cho f(c) > 0

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 30 liên tục và ${\int }_1^{4}f\text{'}\left(x\right)dx=70$. Tính giá trị của f(4)

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [–1;1] thỏa mãn ${\int }_{-1}^1{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=5$ và f(–1) = 4. Tìm f(1).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Chứng minh rằng nếu  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right) = -\infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc (a; +∞) sao cho f(c) < 0

Cho hàm số f(x) thỏa f(1)=30; f'(x) liên tục và ${\int }_1^{4}f\text{'}\left(x\right)dx = 70$. Tính giá trị của f(4)