Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ của đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Từ $B$ vẽ đường kính $BD$ của $(O)$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $E$ ($E$ khác $D$).
a) Chứng minh rằng $OA \bot BC$ tại $H$.
b) Chứng minh $\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ và $AE.AD=AB^2$.
c) Cho biết $OA...
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ của đường tròn $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Từ $B$ vẽ đường kính $BD$ của $(O)$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $E$ ($E$ khác $D$).
a) Chứng minh rằng $OA \bot BC$ tại $H$.
b) Chứng minh $\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ và $AE.AD=AB^2$.
c) Cho biết $OA = (\sqrt{6}+\sqrt{2})R$, tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC$, $OD$ và cung nhỏ $CD$.
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{DBE}=\widehat{ABD}=90^0\)
\(\widehat{ADB}+\widehat{DBE}=90^0\)(ΔBED vuông tại E)
Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)
Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\)
Vì \(\mathbf{AB=AC}\), tam giác ABC là tam giác cân tại A. OA là đường phân giác, đồng thời là đường trung trực của BC. Do đó, OA vuông góc với BC tại trung điểm H của BC. Answer: OA vuông góc với BC tại H. Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADB\): \(\angle BAD\) là góc chung.\(\angle ABE=\angle ADB\). Điều này đúng vì \(\angle ABE\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE, có số đo bằng một nửa số đo cung nhỏ BE. \(\angle ADB\) là góc nội tiếp chắn cung BE, cũng có số đo bằng một nửa số đo cung nhỏ BE. Do \(\Delta ABE\sim \Delta ADB\) (g-g), ta có tỉ số các cạnh tương ứng:\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\)Từ tỉ số này, suy ra hệ thức: Answer: \(\mathbf{AE\cdot AD=AB}^{\mathbf{2}}\)Trong tam giác vuông OAB (vuông tại B, vì AB là tiếp tuyến), ta có:\(\cos (\angle AOB)=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})R}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)\(\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)Góc có cosin bằng \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) là \(\mathbf{75}^{\mathbf{\circ }}\). Vậy \(\angle AOB=75^{\circ }\). Do OA là tia phân giác của \(\angle BOC\), ta có \(\angle BOC=2\cdot \angle AOB=2\cdot 75^{\circ }=\mathbf{150}^{\mathbf{\circ }}\). Vì BD là đường kính, C và D nằm ở hai phía khác nhau của AB (giả định theo hình vẽ thông thường), góc \(\angle COD\) là góc bẹt trừ đi \(\angle BOC\):\(\angle COD=180^{\circ }-\angle BOC=180^{\circ }-150^{\circ }=\mathbf{30}^{\mathbf{\circ }}\)Công thức tính diện tích hình quạt là: \(S=\frac{\pi R^{2}n}{360}\), với \(n\) là số đo góc ở tâm tính bằng độ. Thay số vào công thức:\(S=\frac{\pi R^{2}\cdot 30^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{\pi R^{2}}{12}\)Answer: Diện tích hình quạt là \(\frac{\mathbf{\pi R}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{12}}\).