a: Xét (O') có

ΔAOC nội tiếp

OC là đường kính

Do đó: ΔAOC vuông tại A

=>AC⊥AO tại A

Xét (O) có

OA là bán kính

AC⊥ AO

Do đó: AC là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét tứ giác OAO'B có OA=AO'=O'B=BO(=R)

nên OAO'B là hình thoi

=>AB⊥O'O tại H và H là trung điểm chung của AB và O'O

OAO'B là hình thoi

=>OA//BO'

=>OA//BF

=>BF⊥AC

b: Xét tứ giác AHO'E có \(\hat{AHO^{\prime}}+\hat{AEO^{\prime}}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHO'E là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O') có

ΔBAF nội tiếp

BF là đường kính

Do đó: ΔBAF vuông tại A

=>AB⊥AF tại A

Xét tứ giác AHKG có \(\hat{AHK}=\hat{HAG}=\hat{GKH}=90^0\)

nên AHKG là hình chữ nhật

a: Xét (O1) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥MA tại P

Xét (O2) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

=>MH=PQ
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMQP vuông tại M và ΔMAB vuông tại M có

\(\frac{MQ}{MA}=\frac{MP}{MB}\)

Do đó: ΔMQP~ΔMAB

c: MPHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{HPQ}=\hat{HMQ}=\hat{HMB}\)

\(\Delta O_1PH\) cân tại O1

=>\(\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}=\hat{PHA}\)

mà \(\hat{PHA}=\hat{MBA}\) (hai góc đồng vị, PH//MB)

nên \(\hat{O_1PH}=\hat{MBA}\)

MPHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{PQH}=\hat{PMH}=\hat{AMH}\)

\(\Delta O_2QH\) cân tại O2

=>\(\hat{O_2QH}=\hat{O_2HQ}=\hat{QHB}\)

mà \(\hat{QHB}=\hat{MAB}\) (hai góc đồng vị, QH//MA)

nên \(\hat{O_2QH}=\hat{MAB}\)

\(\hat{QPO_1}=\hat{QPH}+\hat{HPO_1}\)

\(=\hat{HMB}+\hat{HBM}=90^0\)

=>QP là tiếp tuyến của (O1)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{HQO_2}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>PQ là tiếp tuyến của (O2)

a: góc AEH=góc AFH=90 độ

=>AEHF nội tiếp đường tròn tâm I, I là trung điểm của AH

b: góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

c: góc IEO=góc IEH+góc OEH

=góc IHE+góc OBE

=góc OBE+góc OCE=90 độ

=>IE là tiếp tuyến của (O)

d: IE=IF

OE=OF
=>IO là trung trực của EF

a: Sửa đề: K,A,O,B

Xét tứ giác KAOB có \(\hat{KAO}+\hat{KBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên KAOB là tứ giác nội tiếp

=>K,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

KA,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KA=KB

=>K nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của AB

=>OK⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>BA⊥BC

mà OK⊥AB

nên OK//BC

c: xét ΔAOK vuông tại A và ΔBCA vuông tại B có

\(\hat{AOK}=\hat{BCA}\) (hai góc đồng vị, OK//CB)

Do đó: ΔAOK~ΔBCA

=>\(\frac{AO}{BC}=\frac{OK}{AC}\)

=>\(KO\cdot BC=AO\cdot AC=2R^2\)

Xét ΔAOK vuông tại A có \(cosAOK=\frac{OA}{OK}=\frac12\)

nên \(\hat{AOK}=60^0\)

=>\(\hat{ACB}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại B có \(cosACB=\frac{BC}{CA}\)

=>\(\frac{BC}{2R}=\frac12\)

=>BC=R

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB=\frac12\cdot2R\cdot R\cdot\sin60\)

\(=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)

a: Xét tứ giác KAOB có

góc KAO+góc KBO=180 độ

nên KAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

KA,KB là các tiếp tuyến

nên KA=KB

mà OA=OB

nên OK là trung trực của BA

=>OK vuông góc với AB(1)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại B

=>BC vuông góc với BA(2)

Từ (1), (2) suy ra BC//KO

Bạn ơi còn câu c

A B C O D E H K I M N P S

a/

Ta có

\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\) => B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc \(90^o\)

=> B; C nằm trên đường tròn đường kính AO => A; B; O; C cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

OA chung; OB=OC (bán kính (O)) => tg ABO = tg ACO (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau)

Xét tg ABH và tg ACH có

AH chung

AB=AC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...)

tg ABO = tg ACO (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

=> tg ABH = tg ACH (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=\widehat{BHC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\Rightarrow OA\perp BC\) tại H

Ta có ID=IE (gt) \(\Rightarrow OI\perp DE\) (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)

Xét tg vuông AHK và tg vuông AIO có

\(\widehat{OAI}\) chung

=> tg AHK đồng dạng với tg AIO 

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AK}{AO}\Rightarrow AH.AO=AK.AI\)

c/

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

b: CD=CM+MD

=CA+DB

c: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(CM\cdot MD=OM^2\)

=>\(CA\cdot BD=OM^2=R^2\)

d: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

OC⊥AM

AM⊥MB

Do đó: OC//MB

e: Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên NO=OC=OD

=>O nằm trên (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD

=>ON⊥AB

=>AB là tiếp tuyến tại O của (CD/2)

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=> A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Ta có: ΔOED cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)ED tại I

=>OI\(\perp\)AE tại I

Xét ΔAIO vuông tại H và ΔAHK vuông tại H có

\(\widehat{IAO}\) chung

Do đó: ΔAIO~ΔAHK

=>\(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AO}{AK}\)

=>\(AH\cdot AO=AI\cdot AK\)