A B C M 1 2

Dễ dàng chỉ ra được các kết luận trên nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

Ta có : 

a) AM = BC/2 = BM

Vậy tam giác ABM cân tại M. Vậy thì \(\widehat{B}=\widehat{A_1}\)

Tương tự \(\widehat{B}=\widehat{A_2}\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

Mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{A}=90^o\)

b) AM > BM thì \(\widehat{B}>\widehat{A_1};\widehat{C}>\widehat{A_2}\), 

\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A}\) , mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{A}< 90^o\)

c) AM < BM thì \(\widehat{B}< \widehat{A_1};\widehat{C}< \widehat{A_2}\), 

\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}< \widehat{A}\) , mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{A}>90^o\)

a)Xét tam giác APM có: AM < AP + PM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại) 

Xét tam giác ANM có: AM < AN + NM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại) 

=> 2AM < AP + PM + AN +NM (cộng vế với vế) (1) 

Lại có: AP = MN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (2) 

PM = AN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (3) 

Từ (1),(2),(3) => 2AM < 2AP + 2AN 

<=> 2AM < AB + AC (Do CP và BN là đường trung tuyến của tam giác ABC) 

<=> AM < 1/2 (AB+AC) (chia cả hai vế cho 2) 

b) 
* CM tương tự: 

-BN < 1/2 (AB+AC) 

-CP < 1/2 (AC+CB) 

AM < 1/2 (AB+AC) 

=> AM + BN + CP < 1/2 (AB+AC+AB+BC+AC+BC) 

<=>AM + BN + CP < AB+AC+BC (3) 
 

* Có: BG+GC > BC (Xét tam giác BGC) 

- GC+AG > AC (Xét tam giác CGA) 

- AG+BG > AB (Xét tam giác AGB) 

=> 2GB+2GC+2GA > AB+AC+BC 

<=>2.2/3BN + 2.2/3PC + 2.2/3AM > AB+AC+BC (t/c đường trung tuyến trong tam giác ABC) 

<=>4/3 (BN + PC + AM) > AB+AC+BC 

<=>BN+PC+AM > 3/4( AB+AC+BC ) (nhân cả hai vế với 3/4) (4) 

Từ (3),(4) => 3/4(AB+AC+BC) < AM+BN+CP < AB+AC+BC

♥Tomato♥

a.  B C A M 1 2

M là trung điểm của BC

=> BM = MC

Mà AM = BC/2 => AM = BM = MC

+△ABM có : AM = BM ( cmt)

=> △ABM cân tại M

=> ^A₁ = ^B ( 2 góc ở đáy) (1)

+△ACM có AM = MC (cmt)

=> △ACM cân tại M

=>^A₂ = ^C (2 góc ở đáy) (2)

Từ(1)(2) => ^A₁ + ^A₂ = ^B + ^C

  => ^BAC = ^B + ^C

Ta có : ^BAC + (^B + ^C) = 180^o (định lý)

Mà ^BAC = ^B + ^C (cmt)

=> ^BAC = 180^o/2 = 90^o

Vậy...

b . B C A M A'

Trên tia MA lấy A' sao cho A'M = BC/2

Mà AM > BC/2

=> A' nằm giữa A và M

+Xét △A'BC có : M là trung điểm BC và A'M = BC/2

=> ^BA'C = 90^o (theo câu a)

=>^A'BC + ^A'CB = 90^o

+Vì A' nằm giữa A và M

=> Tia BA' nằm giữa 2 tia BA và BM

=> ^ABM > ^A'BM

Cmtt ta có : ^ACM > ^A'CM

Do đó : ^ABM + ^ACM > ^A'BM + ^A'CM

=>  ^ABM + ^ACM > ^ABC + ^ACB

=> ^ABM + ^ACM > 90^o

Xét △ABC có :

^BAC + ^ABC + ^ACB = 180^o

=> ^BAC = 180^o - (^ABC + ^ACB)

Mà ^ABC + ^ACB > 90^o

=> ^BAC < 180^o - 90^o = 90^o

Vậy..

Câu c tương tự