Bài 1:

a: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+1 thì 8p+1=8(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9=3(8k+3)⋮3

=>Loại

=>p=3k+2

4p+1=4(3k+2)+1

=12k+8+1

=12k+9

=3(4k+3)⋮3

=>4p+1 là hợp số

b: TH1: p=3

\(2p^2+1=2\cdot3^2+1=2\cdot9+1=18+1=19\) là số nguyên tố

=>Nhận

\(7p+2=7\cdot3+2=21+2=23\) là số nguyên tố

TH2: p=3k+1

\(2p^2+1=2\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1\)

\(=18k^2+12k+2+1=18k^2+12k+3=3\left(6k^2+4k+1\right)\) ⋮3

=>Loại

TH3: p=3k+2

\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1\)

\(=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)

\(=18k^2+24k+8+1=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) ⋮3

=>Loại

Bài 1

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số.

Chứng minh \(8 p + 1\) là số nguyên tố:

• Ta có \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, vậy \(p \geq 5\).
• Xét biểu thức \(8 p + 1\). Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 41\)
    \(41\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 57\)
    \(57\) không phải là số nguyên tố vì \(57 = 3 \times 19\).
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 89\)
    \(89\) là số nguyên tố.

Vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi \(p\). Nên bài toán này có thể cần điều kiện bổ sung hoặc có thể có lỗi trong cách đặt bài toán.

Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số:

• Ta có \(p \geq 5\), vậy xét \(4 p + 1\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 21\)
    \(21\) là hợp số vì \(21 = 3 \times 7\).
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 29\)
    \(29\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 45\)
    \(45\) là hợp số vì \(45 = 3 \times 15\).

Như vậy, không phải mọi giá trị của \(p\) thỏa mãn điều kiện \(p\) đều tạo ra \(4 p + 1\) là hợp số. Ta không thể chứng minh điều này cho mọi \(p\) mà không có điều kiện bổ sung.

b) Chứng minh \(p\) và \(2 p^{2} + 1\) là các số nguyên tố. Hỏi \(7 p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số?

Giả sử \(p\) là số nguyên tố và \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\).

• Nếu \(p = 5\), ta có:
  \(2 p^{2} + 1 = 2 \left(\right. 5 \left.\right)^{2} + 1 = 2 \left(\right. 25 \left.\right) + 1 = 51\)
  \(51\) không phải là số nguyên tố vì \(51 = 3 \times 17\).
  Như vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi giá trị của \(p\).

Bài 2

Cho số tự nhiên \(n > 2\) và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Chứng minh:

• Gọi \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\).
• Ta biết \(p = n^{2} - 1 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
• • Nếu \(n\) là số nguyên lớn hơn 2, thì \(p = n^{2} - 1\) sẽ là một tích của hai số nguyên lớn hơn 1, do đó \(p\)là hợp số, không phải là số nguyên tố.
• Do đó, \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố.
• Tiếp theo, ta xét \(q = n^{2} + 1\).
• • \(n^{2} + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc hợp số tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng không thể có cả \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\) cùng là số nguyên tố.

Kết luận: Do \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố, nên \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 3

Ta gọi \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa \(p\) và \(q\) không có số nguyên tố nào khác (ví dụ: \(7\) và \(11\) là hai số nguyên tố liên tiếp). Tìm ba số nguyên tố liên tiếp \(p\), \(q\), \(r\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2}\) cũng là số nguyên tố.

Giải:

Ta sẽ thử một số bộ ba số nguyên tố liên tiếp nhỏ:

• Nếu \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\), ta có:
  \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83\)
  \(83\) là số nguyên tố.

Vậy ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) thỏa mãn điều kiện bài toán, vì \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Kết luận: Ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Ta có

(1) Điều kiện cần và đủ để C  là trung điểm của đoạn AB là B A →   =   - 2 A C →

(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là P Q →   =   2 P M →

Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là

Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.

Chọn A.

Chọn A.

Ta có:

(1) Điều kiện cần và đủ để C  là trung điểm của đoạn AB là 

(3) Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn PQ là 

Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là 

Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.

3n+2 chia hết cho 3n+2

=>2.(3n+2)=6n+4 chia hết cho 3n+2

Vì 5n+7 chia hết cho 3n+2 và 6n+4 chia hết cho 3n+2

=>6n+4-(5n+7)=n-3 chia hết cho 3n+2

n-3 chia hết cho 3n+2

=>3.(n-3)=3n-9=3n+2-11chia hết cho 3n+2

Vì 3n+2-11 chi hết cho 3n+2 và 3n+2 chia hết cho 3n+2

=> -11 chia hết cho 3n+2

=>3n+2 thuộc Ư(-11)

=>3n+2={1;-1;-11;11}

=>3n={-1;-3;-13;9}

=>n={-1/3;-1;-13/3;3}

Nếu p=2

8p-1=16-1=15 là hợp số trái với đề(TVĐ)

Nếu p=3

8p-1=8.3-1=24-1=23

8p+1=8.3+1=24+1=25 là hợp số

Nếu p>3

TH1:p=3k+1(vì p là số nguyên tố)

8p-1=8.(3k+1)-1=24k+8-1=24k+7

8p+1=8.(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9 là hợp số

TH2:p=3k+2 

=>8p-1=8.(3k+2)-1=24k+16-1=24k +15=3.(8k+5) chia hết cho 3

Mà p>3

=>8p-1>3

=>8p-1=8.(3k+2)-1=24k+16-1=24k +15=3.(8k+5) là hợp số(TVĐ)

Vậy nếu 8p - 1 và p là SNT thì 8p + 1là hợp số

m²+mn+n²

=m²-2mn+n²+3mn

=(m-n)²+3mn chia hết cho 9

3mn chia hết cho 3

=>(m-n)² chia hết cho 3

=>(m-n)² chia hết cho 9

=>3mn chia hết cho 9

=>mn chia hết cho 3

=>m hoặc n chia hết cho 3

do tính chất của m;n tương đương nhau nên giả sử m chia hết cho 3

m-n chia hết cho 3

=>n chia hết cho 3

=>điều kiện cần và đủ để m^2+m.n+n^2 chia hết cho 9 là m,n chia hết cho 3

=>đpcm

Điều kiện cần:

(ký hiệu | nghĩa là "chia hết cho") 
Nếu m và n đều | 3 thì m² , n² và m.n đều | 9 nên m²+n²+mn sẽ | 9 
Điều kiện đủ:

Nếu m²+n²+mn | 9 ta sẽ cm m,n | 3 
Ta có: m²+n²+mn = (m-n)² + 3mn 
=> 3mn | 9 <=> mn | 3 (1) 
Mà (m-n)² | 9 nên m-n | 3 (2) 
Kết hợp (1) và (2) suy ra m,n đều | 3