cho(O;r) là đường kính AB , C nằm trên đường tròn sao cho AC <BC a) khi AC=r tam giác OAC là tam giác gì? vì sao?b) CH vuông góc với AB tại H , cm AC vuông góc BC , CH^2=AH.HBc) Gọi K là trung điểm BC qua B vẽ tt của (O)d) Gọi I là trung điểm CH . tt tại A của (O) cắt BI tại E. Tính AE.BD+OK.OD theo...
Đọc tiếp
cho(O;r) là đường kính AB , C nằm trên đường tròn sao cho AC <BC
a) khi AC=r tam giác OAC là tam giác gì? vì sao?
b) CH vuông góc với AB tại H , cm AC vuông góc BC , CH^2=AH.HB
c) Gọi K là trung điểm BC qua B vẽ tt của (O)
d) Gọi I là trung điểm CH . tt tại A của (O) cắt BI tại E. Tính AE.BD+OK.OD theo r
a: Xét ΔOAC có OA=OC=AC(=R)
nên ΔOAC đều
b: Xét (O) co
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
=>CA⊥CB
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(CH^2=HA\cdot HB\)
c: Bổ sung đề; Qua B vẽ tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O)
ΔOBC cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK là phân giác của góc BOC
Xét ΔBOD và ΔCOD có
OB=OC
\(\hat{BOD}=\hat{COD}\)
OD chung
Do đó: ΔOBD=ΔOCD
=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)
=>\(\hat{OCD}=90^0\)
=>DC là tiếp tuyến tại C
d: Gọi F là giao điểm của CB và AE
ΔACB vuông tại C
=>CA⊥CB tại C
=>CA⊥CF tại C
=>ΔACF vuông tại C
Ta có: CH⊥AB
FA⊥BA
Do đó: CH//FA
Xét ΔBAE có IH//AE
nên \(\frac{IH}{AE}=\frac{BI}{BE}\) (1)
Xét ΔBEF có CI//EF
nên \(\frac{CI}{EF}=\frac{BI}{BE}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{AE}=\frac{CI}{EF}\)
mà IH=IC
nên AE=EF
=>E là trung điểm của AF
ΔACF vuông tại C
mà CE là đường trung tuyến
nên CE=EA=EF=AF/2
Xét ΔOAE và ΔOCE có
OA=OC
AE=CE
OE chung
Do đó: ΔOAE=ΔOCE
=>EA=EC và \(\hat{EOA}=\hat{EOC}\)
\(\hat{EOA}=\hat{EOC}\)
=>OE là phân giác của góc AOC
ΔOCD=ΔOBD
=>CD=BD
ΔOAE=ΔOCE
=>\(\hat{OAE}=\hat{OCE}\)
=>\(\hat{OCE}=90^0\)
TA có: \(\hat{OCE}+\hat{OCD}=\hat{ECD}\)
=>\(\hat{ECD}=90^0+90^0=180^0\)
=>E,C,D thẳng hàng
Xét ΔOBD vuông tại B có BK là đường cao
nên \(OK\cdot OD=OB^2=R^2\)
Ta có: \(\hat{COA}+\hat{COB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{COE}+\hat{COD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{DOE}=180^0\)
=>\(\hat{DOE}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
Xét ΔDOE vuông tại O có OC là đường cao
nên \(EC\cdot CD=OC^2\)
=>\(EA\cdot BD=R^2\)
\(EA\cdot BD+OK\cdot OD=R^2+R^2=2R^2\)