a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

1:

2n^2+5n-1 chia hết cho 2n-1

=>2n^2-n+6n-3+2 chia hết cho 2n-1

=>2n-1 thuộc {1;-1;2;-2}

mà n nguyên

nên n=1 hoặc n=0

2:

a: A=n(n+1)(n+2)

Vì n;n+1;n+2 là 3 số liên tiếp

nên A=n(n+1)(n+2) chia hết cho 3!=6

b: B=(2n-1)[(2n-1)^2-1]

=(2n-1)(2n-2)*2n

=4n(n-1)(2n-1)

Vì n;n-1 là hai số nguyên liên tiếp

nên n(n-1) chia hết cho 2

=>B chia hết cho 8

c: C=n^2+14n+49-n^2+10n-25=24n+24=24(n+1) chia hết cho 24

nhanh dữ, cảm ơn nhé

Chứng minh n^6+n^4-2n^2 chia hết cho 72?

Lời giải:
$7.2^{2n-2}\equiv 2.2^{2n-2}\equiv 2^{2n-1}\pmod 5$

$\Rightarrow 7.2^{2n-2}+3^{2n-1}\equiv 2^{2n-1}+3^{2n-1}\pmod 5$

Mà $2^{2n-1}+3^{3n-1}\vdots (2+3=5)$ (do $2n-1$ lẻ)

$\Rightarrow 7.2^{2n-2}+3^{2n-1}\vdots 5$ (đpcm)

a: TH1: n=1

\(VT=n^2=1;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{1\cdot\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=1\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1^2+2^2+\ldots+n^2+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left\lbrack n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right\rbrack}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+3n+4n+6\right)}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+3\right)\left(n+2\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1+1\right)\left\lbrack2\cdot\left(n+1\right)+1\right\rbrack}{6}\)

=>Mệnh đề cũng đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

b: TH1: n=1

\(VT=1\left(1+1\right)=1\cdot2=2;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)

=>Mệnh đề đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

Lỡ có sai sót thì thông cảm giúp mình nha:3

Cách 1: Thực hiện phép chia 2n2 – n + 2 cho 2n + 1 ta có:

2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1

⇔ 3 ⋮ (2n + 1) hay (2n + 1) ∈ Ư(3)

⇔ 2n + 1 ∈ {±1; ±3}

   + 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0

   + 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1

   + 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1

   + 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.

Vậy n ∈ {-2; -1; 0; 1.}

Cách 2:

Ta có:

2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1

⇔ 2n + 1 ∈ Ư(3) = {±1; ± 3}.

   + 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0

   + 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1

   + 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1

   + 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.

Vậy n ∈ {-2; -1; 0; 1.}

Chú ý: Đa thức A chia hết cho đa thức B khi phần dư của phép chia bằng 0.

Llklkksd