sửa đề: \(S_{BOC}=15\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

AB//CD
=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\)

Vì \(\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}\) nên \(\frac{S_{BOA}}{S_{BOC}}=\frac{AB}{CD}\) (1)

Vì \(\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\) nên \(\frac{S_{BOA}}{S_{AOD}}=\frac{AB}{CD}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{BOA}}{S_{BOC}}=\frac{S_{BOA}}{S_{AOD}}\)

=>\(S_{AOD}=S_{BOC}\)

=>\(S_{AOD}=15\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi E là giao điểm của PQ và AB

Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MN//PQ

=>\(\hat{BMN}=\hat{BEP}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{BEP}=\hat{QPD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{BMN}=\hat{DPQ}\)

Xét ΔBMN và ΔDPQ có

\(\hat{BMN}=\hat{DPQ}\)

\(\hat{MBN}=\hat{PDQ}\) (ABCD là hình bình hành)

Do đó: ΔBMN~ΔDPQ

=>\(\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DQ}=\frac{MN}{PQ}=1\)

=>BM=DP; BN=DQ

Xét tứ giác BMDP có

BM//DP

BM=DP

Do đó: BMDP là hình bình hành

=>BD cắt MP tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra BD,MP,NQ,AC đồng quy tại trung điểm của mỗi đường

hay hình bình hành MNPQ có chung tâm O với hình bình hành ABCD