1) Giả sử: \(9x+5=n\left(n+1\right)\left(n\in Z\right)\)

\(36x+20-4n^2+4n\)

\(\Rightarrow36x+21=4n^2+4n+1\)

\(\Rightarrow3\left(12x+7\right)=\left(2n+1\right)^2\)

\(\left(2n+1\right)^2\)là số chính phương nên sẽ chia hết cho 3 => (2n+1)² chia hết cho 9

Lại có: 12x+7 ko chia hết cho 3 => 3(12x+7) ko chia hết cho 9

Chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x+5=n(n+1)

2) Ta có: xy + 3x - y = 6 =>x(y+3) - y = 6 

=>x(y+3) - y - 3 = 3 =>x(y+3) - (y+3) = 3

=> (y+3)(x-1) =3

Vì x, y là các số nguyên nên y+3;x-1 là các số nguyên

Ta có bảng sau:

x = -101 ; y = -47

hoặc x = -47 ; y = -101

k cho mk nhé

a/ Ta có VP là số lẻ nên VT cũng phải là số lẻ. Hay trong 2 số x, y phải có 1 số lẻ.

Giả sử số lẻ đó là x thì ta có

\(\hept{\begin{cases}x=2m+1\\y=2n\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2+\left(2n\right)^2=1999\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+m+n\right)=1998\)

Ta thấy VT chia hết chi 4 còn VP không chia hết cho 4 nên phương trình vô nghiệm

b/ \(9x^2+2=y^2+y\)

\(\Leftrightarrow36x^2+8=4y^2+4y\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2-36x^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+1-6x\right)\left(2y+1+6x\right)=9\)

TH1: x=y

\(\left|x-y\right|+\left|x+y\right|=2^{\left|x-y\right|}+99\)

=>\(\begin{cases}x-y=0\\ \left|x+y\right|=1+99=100\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-y=0\\ x+y\in\left\lbrace100;-100\right\rbrace\end{cases}\)

=>x=y và x+y∈{100;-100}

TH1: x+y=100

mà x=y

nên \(x=y=\frac{100}{2}=50\)

=>NHận

TH2: x+y=-100

mà x=y

nên \(x=y=-\frac{100}{2}=-50\)

=>Nhận

TH2: x<>y

Đặt A=|x-y|+|x+y|

TH1: x lẻ; y lẻ

=>x-y chẵn; x+y chẵn

=>A=|x-y|+|x+y| chẵn(1)

TH2: x chẵn; y chẵn

=>x-y chẵn; x+y chẵn

=>|x-y|+|x+y| chẵn

=>A chẵn(2)

TH3: x lẻ; y chẵn

=>x-y lẻ; x+y lẻ

=>|x-y| lẻ; |x+y| lẻ

=>|x-y|+|x+y| chẵn

=>A⋮2(3)

TH4: x chẵn; y lẻ

=>x-y lẻ; x+y lẻ

=>|x-y|+|x+y| chẵn

=>A⋮2(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra A⋮2

\(\left|x-y\right|+\left|x+y\right|=2^{\left|x-y\right|}+99\)

mà \(\left|x-y\right|+\left|x+y\right|\) ⋮2 và \(2^{\left|x-y\right|}+99\) lẻ(do x<>y)

nên (x;y)∈∅

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\)

Ta có:

\(x^2< x^2+8y\le x^2+8x< x^2+8x+16=\left(x+4\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+8y=\left(x+1\right)^2or\left(x+2\right)^2or\left(x+3\right)^2\)

PS: Vì e là CTV nên a chỉ gợi ý thôi nha. Phần còn lại e thử tự nghĩ xem sao nhé. A giải quyết cho e phần khó nhất rồi đấy :)

Anh Alibaba Nguyễn, giải tìm x ntn vậy, em mới tìm được y thôi

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2-6xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)-xy\left(x+y+6\right)=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\) với \(a^2\ge4b\) 

\(\Rightarrow a^3-3ab-b\left(a+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3-2b\left(2a+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow8a^3+27-16b\left(2a+3\right)=27\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3\right)\left(4a^2-6a+9\right)-16b\left(2a+3\right)=27\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3\right)\left(4a^2-6a+9-16b\right)=27\)

Tới đây là pt ước số khá đơn giản, chắc em tự hoàn thành bài toán được.