\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.2+4.5-m\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|26-m\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=21\\m=31\end{matrix}\right.\)

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {6;8} \right)\) suy ra hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia

Chọn điểm \(A\left( {0;\frac{5}{2}} \right) \in \Delta \), suy ra \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {A,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 8.\frac{5}{2} - 1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{19}}{{10}}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 10 = 0\) và \(\Delta ':6x + 8y - 1 = 0\) là \(\frac{{19}}{{10}}\)

Sửa đề: Đường tròn này tiếp xúc với hai đường thẳng d1,d2

Khoảng cách từ I đến (d1) là:

\(d\left(I;\left(d_1\right)\right)=\frac{\left|3\cdot\left(1+t\right)+4\left(1-t\right)-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3t+3+4-4t-1\right|}{5}=\frac{\left|-t+6\right|}{5}=\frac{\left|t-6\right|}{5}\)

Khoảng cách từ I đến (d2) là:

\(d\left(I;\left(d_2\right)\right)=\frac{\left|3\left(t+1\right)+\left(-4\right)\left(t-1\right)+2\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{\left|3t+3-4t+4+2\right|}{5}=\frac{\left|-t+9\right|}{5}\)

Vì đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1,d2 nên ta có:

\(R=d\left(I;\left(d_1\right)\right)=d\left(I;\left(d_2\right)\right)\)

=>|t-6|=|-t+9|

=>\(\left[\begin{array}{l}t-6=-t+9\\ t-6=t-9\left(loại\right)\end{array}\right.\Rightarrow2t=15\)

=>t=7,5

Tọa độ điểm I là:

\(\begin{cases}x=1+7,5=8,5\\ y=1-7,5=-6,5\end{cases}\)

\(R=\frac{\left|t-6\right|}{5}=\frac{\left|7,5-6\right|}{5}=\frac{1.5}{3}=0,3\)

Phương trình đường tròn (C) là:

\(\left(x-8,5\right)^2+\left(y+6,5\right)^2=R^2=0,3^2=0,09\)

Xem lại đề phương trình đường thẳng delta1

a.

Gọi \(M\left(x;y\right)\in d\)

\(\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=3\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-4y+6\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-4y+21=0\\3x-4y-9=0\end{matrix}\right.\)

b.

Giả sử đường thẳng (d2) có dạng \(a\left(x+2\right)+b\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a-3b=0\) (1)

\(\dfrac{\left|3.a-4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow2\left(3a-4b\right)^2=25a^2+25b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+48ab-7b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7a=b\\a=-7b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;7\right);\left(7;-1\right)\)

\(\Rightarrow...\) (bạn tự thế vào (1) và rút gọn)

Ta có \(\frac{6}{3} = \frac{8}{4} \ne \frac{{ - 13}}{{ - 27}}\) nên hai đường thẳng này song song với nhau.

Chọn điểm \(A(9;0) \in \Delta '\) ta có:

\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {6.9 + 8.0 - 13} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{41}}{{10}}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là \(\frac{{41}}{{10}}\)

Đường thẳng \(\Delta\) nhận (3;-4) là 1 vtpt

a. Do \(d_1||\Delta\) nên \(d_1\) cũng nhận (3;-4) là 1 vtpt

Phương trình d1:

\(3\left(x-2\right)-4\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow3x-4y+14=0\)

b. Do d2 vuông góc \(\Delta\) nên d2 nhận (4;3) là 1 vtpt

Phương trình d2:

\(4\left(x-2\right)+3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-23=0\)

Vì hai đường thẳng \(\Delta \) và d song song với nhau nên ta có thể chọn \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Mặt khác, \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\)nên phương trình \(\Delta \) là:

\(3\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 11 = 0\).