Bài 1:

Ta thấy: $(x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\geq \frac{5}{4}$

Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{5}{4}$

Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Bài 2:

$x+y-3=0\Rightarrow x+y=3$
\(M=x^2(x+y)-(x+y)x^2-y(x+y)+4y+x+2019\)

\(=-3y+4y+x+2019=x+y+2019=3+2019=2022\)

`A=x^4-6x^3+18x^2-6xy+y^2+2012`
`=x^4-6x^3+9x^2+9x^2-6xy+y^2+2012`
`=(x^2-x)^2+(3x-y)^2+2012>=2012`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\begin{cases}x=x^2\\y=3x\end{cases}$
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=3x=0\\\end{cases}\\\begin{cases}x=1\\y=3x=3\\\end{cases}\end{array} \right.$
Vậy `min_A=2012<=>` $\left[ \begin{array}{l}x=y=0\\\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}\end{array} \right.$

a: \(A\left(x\right)=3x^3-5x^2+x+2a\)

\(=3x^3+6x^2-11x^2-22x+23x+46+2a-46\)

=(x+2)\(\left(3x^2-11x+23\right)\) +2a-46

Để A(x)⋮B(x) thì 2a-46=0

=>2a=46

=>a=23

b: \(A=3x^2+14y^2-12xy+6x-8y+10\)

\(=3x^2-12xy+12y^2+6x-12y+2y^2+4y+10\)

\(=3\left(x-2y\right)^2+6\left(x-2y\right)+3+2y^2+4y+2+5\)

\(=3\left(x-2y+1\right)^2+2\left(y+1\right)^2+5\ge5\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi y+1=0 và x-2y+1=0

=>y=-1 và x=2y-1=2*(-1)-1=-3

a: \(3x^2+7x+a+4\) ⋮x-5

=>\(3x^2-15x+22x-110+a+4+110\) ⋮x-5

=>a+114=0

=>a=-114

b: \(2x^3-3x^2+x+b\) ⋮x+2

=>\(2x^3+4x^2-7x^2-14x+15x+30+b-30\) ⋮x+2

=>b-30=0

=>b=30