bài này làm sao chỉ mình với

chơi liên quân ác phết

a: Sửa đề: Đường cao AD

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\hat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH~ΔBEC

=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\hat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCFB

=>\(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CD\cdot CB=CF\cdot CH\)

\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2\)

b: Xét ΔHBC có HD là đường cao

nên \(S_{HBC}=\frac12\cdot HD\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔABC có AD là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HD\cdot BC}{\frac12\cdot AD\cdot BC}=\frac{HD}{AD}\)

Xét ΔHAC có HE là đường cao

nên \(S_{HAC}=\frac12\cdot EH\cdot AC\) (3)

Xét ΔBAC có BE là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BE\cdot AC\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{HAC}}{S_{BAC}}=\frac{\frac12\cdot HE\cdot AC}{\frac12\cdot BE\cdot AC}=\frac{HE}{BE}\)

Xét ΔHAB có HF là đường cao

nên \(S_{HAB}=\frac12\cdot HF\cdot AB\) (5)

Xét ΔACB có CF là đường cao

nên \(S_{CAB}=\frac12\cdot CF\cdot AB\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{HAB}}{S_{CAB}}=\frac{\frac12\cdot FH\cdot AB}{\frac12\cdot CF\cdot AB}=\frac{HF}{CF}\)

\(\frac{HD}{DA}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{FC}\)

\(=\frac{S_{HAB}+S_{HAC}+S_{HBC}}{S_{ABC}}=1\)

c: Xét tứ giác AFHE có \(\hat{AFH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{HFE}=\hat{HAE}\) (AEHF nội tiếp)

\(\hat{HFD}=\hat{HBD}\) (BFHD nội tiếp)

mà \(\hat{HAE}=\hat{HBD}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{HFE}=\hat{HFD}\)

=>FH là phân giác của góc DFE

Ta có: \(\hat{FDH}=\hat{FBH}\) (BFHD nội tiếp)

\(\hat{EDH}=\hat{ECH}\) (CEHD nội tiếp)

mà \(\hat{FBH}=\hat{ECH}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

nên \(\hat{FDH}=\hat{EDH}\)

=>DH là phân giác của góc FDE

Xét ΔFDE có

DH,FH là các đường phân giác

DH cắt FH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔFDE

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BC\)không chứa \(A\)lấy tia \(Cx\)sao cho \(\widehat{BAD}=\widehat{BCx}\).

Kéo dài \(AD\)cắt \(Cx\)tại \(E\).

Xét \(\Delta DAB\)và \(\Delta DCE\)có:

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(vì đối đỉnh).

\(\widehat{BAD}=\widehat{BCE}\)(hình vẽ trên).

\(\Rightarrow\Delta DAB~\Delta DCE\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CED}\)(2 góc tương ứng).

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CEA}\)

Và \(\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DE}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.DE=BD.CD\)\(\left(1\right)\).
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta EAC\)có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)(giả thiết).

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta EAC\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)\(\left(2\right)\).

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).

\(\Rightarrow AD.AE-AD.DE=AB.AC-BD.CD\).

\(\Rightarrow AD\left(AE-DE\right)=AB.AC-BD.CD\).

\(\Rightarrow AD.AD=AB.AC-BD.CD\).

\(\Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.CD\)(điều phải chứng minh).

A B C D E x

B H C A d b A B D C E

1.Vẽ AH \(\perp\)BC;H\(\in\)BC

+, Xét D nằm trên đoạn thẳng HC 

\(\Delta HAB\)có \(\widehat{H}\)= 90⁰ Theo định lý Pytago ta có:

\(AH^2+BH^2=AB^2\Rightarrow AH^2=c^2-BH^2\)

\(\Delta HAD\)có \(\widehat{H}\)=90⁰,theo định lý Pytago tacó:

\(AH^2+DH^2=AD^2\Rightarrow AH^2=d^2-DH^2\)

Do đó \(d^2-DH^2=c^2-BH^2\Rightarrow d^2=c^2+DH^2-BH^2\)

\(\Rightarrow d^2=c^2+BD\left(DH-BH\right)\Rightarrow d^2n=c^2n+mn\left(DH-BH\right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(d^2m=b^2m+mn\left(-DH-CH\right)\)

Ta có: \(d^2m+b^2m+c^2n+mn\left(-DH-CH+DH-BH\right)\)

          \(d^2\left(m+n\right)=b^2m+c^2n+mn\left(-CH-BH\right)\)

         \(d^2a=b^2m+c^2n-amn\)

+, Xét D nằm trên đoạn thẳng HB

Chứng minh tương tự trên ta cũng có \(d^2a=b^2m+c^2n-amn\)

2.\(\widehat{ADC}>\widehat{ABC}\) (ADC là góc ngoài của tam giác ABD)

Do đó vẽ E trên cạnh AC sao cho góc ADE =góc ABC

ta có AE<AC

XÉT tam giác ABD và tam gác ADE có : góc BAD = góc DAE(AD phân giác)

                                                                 góc ABD=góc ADE

do đó \(\Delta ABD\infty\Delta ADE\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD^2=AB.AE\)

do đó \(AD^2< AB.AC\)