Bài 4:

a: \(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m+1\right)\)
\(=m^2-6m+9+4m-4=m^2-2m+5\)

\(=m^2-2m+1+4=\left(m-1\right)^2+4\ge4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m+3;x_1x_2=\frac{c}{a}=-m+1\)

\(P=x_1x_2-x_1^2-x_2^2\)

\(=x_1x_2-\left(x_1^2+x_2^2\right)\)

\(=x_1x_2-\left\lbrack\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right\rbrack=3x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2\)

\(=3\left(-m+1\right)-\left(-m+3\right)^2\)

\(=-3m+3-m^2+6m-9=-m^2+3m-6\)

\(=-\left(m^2-3m+6\right)\)

\(=-\left(m^2-3m+\frac94+\frac{15}{4}\right)=-\left(m-\frac32\right)^2-\frac{15}{4}\le-\frac{15}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-3/2=0

=>m=3/2

c: \(\left(x_1-3x_2\right)\cdot x_1+x_2^2\)

\(=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(=\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\right)-5x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(=\left(-m+3\right)^2-5\left(-m+1\right)\)

\(=m^2-6m+9+5m-5=m^2-m+4=m^2-m+\frac14+\frac{15}{4}\)

\(=\left(m-\frac12\right)_{}^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\forall m\)

=>\(T\le15:\frac{15}{4}=4\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m-\frac12=0\)

=>m=1/2

Bài 3:

a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(2m+1\right)\right\rbrack^2-4\left(3m^2-4\right)\)
\(=4\left(4m^2+4m+1\right)-4\left(3m^2-4\right)=4\left(4m^2+4m+1-3m^2+4\right)\)

\(=4\left(m^2+4m+5\right)=4\left(m+2\right)^2+4\ge4\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(P=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\)

\(=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(4m+2\right)^2-4\left(3m^2-4\right)=16m^2+16m+4-12m^2+16=4m^2+16m+16+4\)

\(=\left(2m+4\right)^2+4\ge4\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+2=0

=>m=-2

\(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2-2\right)\)

\(=4m^2-8m^2+16=-4m^2+16\)

Để phương trình có hai nghiệm thì (m-2)(m+2)<0

=>-2<m<2

Theo đề, ta có:

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(-m\right)^2-\dfrac{5}{2}\left(m^2-2\right)-1< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-\dfrac{5}{2}m^2+5-1< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{-3}{2}< -4\)

\(\Leftrightarrow m^2>6\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{6}\\m< -\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm

B = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) + 16 − 3 x 1 x 2

= 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 + 16 − 3 x 1 x 2 = 2 ( 2 m + 2 ) 2 − 4 ( m 2 + 2 ) + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 4 m 2 + 16 m + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 2 m + 4 − 3 ( m 2 + 2 ) = − 3 m 2 + 2 m − 2

Xét hàm số y = − 3 m 2 + 2 m − 2 với  m ≥ 1 2

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị m a x m ≥ 1 2 y = − 7 4  khi  m = 1 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là - 7 4 khi  m = 1 2

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án: B

Phương trình x 2 – 2(m + 4)x + m 2 – 8 = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ ' = ( m + 4 ) 2 – ( m 2 – 8 ) = 8 m + 24

Phương trình có hai  x 1 ;   x 2 ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 8 m + 24 ≥ 0

Áp dụng định lý Vi – ét ta có x 1 + x 2   = 2 ( m + 4 ) ;   x 1 . x 2 = m 2   –   8

Ta có:

A = x 1 + x 2 − 3 x 1 x 2

= 2 (m + 4) – 3 ( m 2 – 8) = 3 m 2 + 2m + 32 =  − 3 m 2 − 2 3 m − 32 3

= − 3 m − 1 3 2 + 97 3

Nhận thấy A ≤ 97 3  và dấu “=” xảy ra khi m − 1 3 = 0 ⇔ m = 1 3  (TM)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 97 3 khi  m = 1 3

Đáp án: A

b) Theo định lí Vi-et ta có:

x 1  + x 2 = m + 1 và x 1 . x 2  = m - 2

Do đó A =  x 1 2 + x 2 2 - 6 x 1 x 2  = x 1 + x 2 2 - 8 x 1 x 2

= m + 1 2 - 8(m – 2) = m 2  + 2m + 1 – 8m + 16

= m 2 - 6m + 17 = m - 3 2  + 8 ≥ 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bẳng 8 khi m – 3 = 0 hay m = 3.

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-10=m^2-9\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-3\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

a.

\(P=x_1^2+x_2^2+6x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2\)

\(P=4\left(m+1\right)^2+4\left(2m+10\right)\)

\(P=4m^2+16m+44=\left(4m^2+16m+12\right)+32\)

\(P=4\left(m+1\right)\left(m+3\right)+32\ge32\)

\(P_{min}=32\) khi \(m=-3\)

b.

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(x_1+x_2-x_1x_2=-8\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

Áp dụng hệ thức vi ét:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1.x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=m^2-2\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\left(m-1\right)^2\)

\(Min\left(x_1^2+x_2^2=0\right)\Leftrightarrow m=1\)

Chọn A

PT x 2 − 2 m + 1 x + m 2 − 1 = 0     ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo Vi-et ta có:  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 x 2 = m 2 − 1

Ta có:  x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 = x 1 + x 2 2 + 6 x 1 x 2 = 2 m + 1 2 + 6 m 2 − 1

= 10 m 2 + 2 5 m + 1 25 − 27 5 = 10 m + 1 5 2 − 27 5

⇒ x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 ≥ − 27 5

Dấu ‘=’ xảy ra khi m = − 1 5 (thỏa mãn (*))

Vậy x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi  m = − 1 5

Đáp án cần chọn là: C

PT $(*)$ là PT bậc nhất ẩn $x$ thì làm sao mà có $x_1,x_2$ được hả bạn?

PT cuối cũng bị lỗi.

Bạn xem lại đề!

Em sửa rồi ấy ạ