a: \(\widehat{B}=\widehat{C}=45^0\)

b: \(\widehat{P}=180^0-2\cdot45^0=90^0\)

Thank you

\(\Delta\)ABC = \(\Delta\)MNP

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{M}=45^o\\\widehat{B}=\widehat{N}=70^{^o}\\\widehat{C}=\widehat{P}\end{cases}}\)

=> \(\widehat{C}=\widehat{P}=180^o-\left(45^o+70^o\right)=65^o\)

ABC cân tại A => góc C = góc B = 50 độ

góc C = 180-45-30=105

=> góc góc đỉnh C = 180 -105 =75 độ

ΔAHB vuông tại H có tan B=AH/HB

=>8/HB=tan45=1

=>HB=8(cm)

Xét ΔAHC vuông tại H có tan C=\(\frac{AH}{HC}\)

=>\(HC=8:\tan30=8:\frac{1}{\sqrt3}=8\sqrt3\) (cm)

HB+HC=BC

=>\(BC=8+8\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=8^2+8^2=128\)

=>\(AB=8\sqrt2\) (cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=8^2+\left(8\sqrt3\right)^2=64+192=256=16^2\)

=>AC=16(cm)

Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}=180^0-30^0-45^0=105^0\)

a: Xét ΔABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

=>\(\widehat{C}=180^0-60^0-45^0=75^0\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}\)

=>\(\dfrac{BC}{sin60}=\dfrac{4}{sin45}=\dfrac{AB}{sin75}\)

=>\(BC=2\sqrt{6};AB=2+2\sqrt{3}\)

b: Xét ΔABC có

\(\dfrac{BC}{sinA}=2R\)

=>\(2R=6:sin60=4\sqrt{3}\)

=>\(R=2\sqrt{3}\)

^AHC = 90⁰ và ^AHD = 45⁰ suy ra HD là phân giác ngoại tại đỉnh H của \(\Delta\)ABH

Kết hợp với BD là đường phân giác trong tại đỉnh B suy ra AD là phân giác của ^HAx (2 đường phân giác ngoài và một đường phân giác trong đồng quy)

Ta có: ^HAx = 90⁰ + ^ABH (t/c góc ngoài)

=> \(2\widehat{CAx}=90^0+2\widehat{ABD}\)

=> ^CAx  = 45⁰ + ^ABD

Mà  ^CAx  = ^ADB + ^ABD (t/c góc ngoài) nên suy ra ^ADB = 45⁰

Vậy \(\widehat{ADB}=45^0\)

\(135^o\)