Cho (O;R) và 1 đường thẳng d cố định cắt (O) tại 2 điểm C, D. Một điểm M di động trên d sao cho MC>MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Gọi H là trung điểm của CD, gọi giao của AB với MO, CH lần lượt là E và F. Chứng minh:a) \(CE.OM=R^2\)b) Tứ giác MEHF nội tiếpc) Đường thẳng AB đi qua 1 điểm cố...
Đọc tiếp
Cho (O;R) và 1 đường thẳng d cố định cắt (O) tại 2 điểm C, D. Một điểm M di động trên d sao cho MC>MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Gọi H là trung điểm của CD, gọi giao của AB với MO, CH lần lượt là E và F. Chứng minh:
a) \(CE.OM=R^2\)
b) Tứ giác MEHF nội tiếp
c) Đường thẳng AB đi qua 1 điểm cố định
a: Sửa đề: \(OE\cdot OM=OA^2\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM⊥AB tại M
Xét ΔOAM vuông tại A có AE là đường cao
nên \(OE\cdot OM=OA^2=R^2\)
b: Sửa đề: Chứng minh CEOD là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)
Xét ΔMAC và ΔMDA có
\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)
góc AMC chung
Do đó: ΔMAC~ΔMDA
=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)
=>\(MA^2=MD\cdot MC\) (3)
Xét ΔMAO vuông tại A có AE là đường cao
nên \(ME\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(MD\cdot MC=ME\cdot MO\)
=>\(\frac{MD}{ME}=\frac{MO}{MC}\)
Xét ΔMEC và ΔMDO có
\(\frac{ME}{MD}=\frac{MC}{MO}\)
góc EMC chung
Do đó: ΔMEC~ΔMDO
=>\(\hat{MEC}=\hat{MDO}\)
mà \(\hat{MEC}+\hat{OEC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OEC}+\hat{ODC}=180^0\)
=>OECD là tứ giác nội tiếp