Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra có thể đặt:

$S(a,a\sqrt3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Thể tích khối cầu:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi a^3$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}a^3$

$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do:

$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac a2$

$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$

Khi đó:

$\begin{aligned}
R^2
&=OA^2\
&=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\
&=a^2+\dfrac{h^2}{4}\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$:

$\dfrac{5a^2}{4}=a^2+\dfrac{h^2}{4}$

$\Rightarrow h^2=a^2$

$\Rightarrow h=a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC}=\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Thể tích khối chóp:

$\begin{aligned}
V
&=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h\
&=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\
&=\dfrac{a^3\sqrt3}{6}\end{aligned}$

Đáp án C

Đáp án C

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a$ nên đặt:

$S(a,0,a)$

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp AB$ ⇒ tam giác vuông tại $A$

$S_{SAB} = \dfrac{1}{2} SA \cdot AB = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AC} = (-a,a,0)$

$|\vec{SA} \times \vec{AC}| = a^2\sqrt{2}$

$S_{SAC} = \dfrac{1}{2} a^2\sqrt{2} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$\vec{SB} = (-a,0,-a),\ \vec{SC} = (-a,a,-a)$

$\vec{SB} \times \vec{SC} = (a^2,0,-a^2)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{2}$

$S_{SBC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$S_{tp} = S_{ABC} + S_{SAB} + S_{SAC} + S_{SBC}$

$= \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$= a^2 + a^2\sqrt{2}$

$= a^2(1 + \sqrt{2})$

Chọn đáp án B

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a$ nên đặt:

$S(a,0,a)$

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

Mặt $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow S_{SAB} = \dfrac{1}{2} SA \cdot AB = \dfrac{a^2}{2}$

Mặt $SAC$:

$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AC} = (-a,a,0)$

$|\vec{SA} \times \vec{AC}| = a^2\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{SAC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

Mặt $SBC$:

$\vec{SB} = (-a,0,-a),\ \vec{SC} = (-a,a,-a)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{SBC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$S_{tp} = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$= a^2 + a^2\sqrt{2}$

Đáp án C

Kẻ hinh chữ nhật A B C D như hình vẽ bên  ⇒ S D ⊥ A B C D

Diện tích tam giác ABC là S A B C = 1 2 . A B . A C = a 2

Suy ra V S . A B C = 1 3 . S D . S Δ A B C = a 2 3 . S D = 2 3 a 3 ⇒ S D = 2 a .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . A B D C là

R = R A B D C 2 + S D 2 4 = a 5 2 2 + 2 a 2 4 = 3 a 2

Vậy bán kính mặt cầu cần tính là  R = 3 a 2 .

Chọn đáp án A

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{a^2}{2}$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a$ nên chiều cao của khối chóp là:

$h = SA = a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a = \dfrac{a^3}{6}$

Chọn A

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$
$= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp (ABC)$ và $SA = a$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a$

$= \dfrac{a^3}{6}$

Vậy $V = \dfrac{a^3}{6}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$AC = a\sqrt2$.

Suy ra:

$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2} \Rightarrow SA = a\sqrt6$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a\sqrt6$

$= \dfrac{a^3\sqrt6}{6}

= \dfrac{a^3\sqrt3}{6}\cdot \sqrt2$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt6}{6}$.

Chọn đáp án B.