Đáp án C

Gọi H là trung điểm AC. Ta có tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

suy ra  S H ⊥ A B C

Ta có

  S B , A B C = S B H ^ = 45 o ⇒ S H = B H = 1 2 A C = a 2 2 V S . A B C   = 1 3 . a 2 2 . 1 2 a 2 = a 3 2 12

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Do tam giác $SAC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên: $H\in AC$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Vì góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\widehat{SBH}=45^\circ$

=> $\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH$

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$ ta có: $AC=a\sqrt{2}$

Vì $H\in AC$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Do đó: $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

=> $SH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}} =\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}} =\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Đáp án C

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.

Do tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$

=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Thể tích khối chóp

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC = 2a$ nên:

$AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = a\sqrt2$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot a\sqrt2 \cdot a\sqrt2 = a^2$.

Mặt bên $SBC$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SB = SC$ và $BC = SB\sqrt2 \Rightarrow SB = SC = \dfrac{BC}{\sqrt2} = a\sqrt2$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì:

$SH \perp BC$ và $SH = \dfrac{BC}{2} = a$.

Vì $(SBC)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$, do đó $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot a^2 \cdot a= \dfrac{a^3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{3}$.

Chọn đáp án D.

Đáp án là C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ thuộc $AC$.

Tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $H$ của $AC$.

Suy ra: $AC = a\sqrt2 \Rightarrow AH = HC = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$:

$BH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Xét góc giữa $SB$ và $(ABC)$:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{BH} \Rightarrow 1 = \dfrac{SH}{\dfrac{a\sqrt2}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}= \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB=BC=a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Do mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.

Vì tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$

=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:

$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$

$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$

Thể tích khối chóp là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì: $SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB suy ra  S H ⊥ A B

Do Δ S A B  vuông cân tại S nên  S H = A B 2 = a 2 ; S A B C = a 2 2 ⇒ V = a 3 12 .

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:

$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có SO ⊥ (ABC). Gọi D là điểm đối xưng với B qua O

=> ABCD là hình vuông => AB//CD

=> d(AB;SC) = d(AB;(SCD))  = d(E;(SCD)) = 2d(O;(SCD))(Với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD).

Áp dung tính chất tứ diện vuông cho tứ diện OSCD ta có:

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2a \Rightarrow AC = 2a\sqrt2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0)$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra: $H(a,a,0)$ và $S(a,a,h)$.

Ta có: $\vec{AB} = (-2a,0,0), \quad \vec{SC} = (0-a,2a-a,0-h)=(-a,a,-h)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$d = \dfrac{|(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$.

Tính: $\vec{AB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\-2a & 0 & 0 \\-a & a & -h\end{vmatrix}= (0, -2ah, -2a^2)$.

Độ dài:$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = \sqrt{(2ah)^2 + (2a^2)^2} = 2a\sqrt{h^2 + a^2}$.

Lấy $\vec{AS} = (-a,a,h)$: $(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}= 0\cdot(-a) + (-2ah)\cdot a + (-2a^2)\cdot h= -2a^2h -2a^2h = -4a^2h$.

Suy ra:$d = \dfrac{4a^2h}{2a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.

Trong tam giác cân $SAC$ có $SH \perp AC$ nên:

$SA^2 = SH^2 + AH^2$ với $AH = a\sqrt2$.

Do tam giác cân tại $S$ nên chọn $SH = a\sqrt2$ (phù hợp hình học), suy ra:

$d = \dfrac{2a \cdot a\sqrt2}{\sqrt{2a^2 + a^2}} = \dfrac{2a^2\sqrt2}{a\sqrt3} = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Vậy $d = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Chọn đáp án B.

Đáp án C.

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm AC.

Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đỉnh S cách đều các điểm A, B,C nên hình chiếu của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

suy ra S H ⊥ ( A B C )

Tam giác vuông  SBH, có

Tam giác vuông  ABC ,

có  A B = A C 2 - B C 2 = a 3

Diện tích tam giác vuông

S ∆ A B C = 1 2 B A . B C = a 3 2 2

Vậy  V S . A B C = 1 3 S ∆ A B C . S H = a 3 2

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a$ nên đặt:

$S(a,0,a)$

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp AB$ ⇒ tam giác vuông tại $A$

$S_{SAB} = \dfrac{1}{2} SA \cdot AB = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AC} = (-a,a,0)$

$|\vec{SA} \times \vec{AC}| = a^2\sqrt{2}$

$S_{SAC} = \dfrac{1}{2} a^2\sqrt{2} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$\vec{SB} = (-a,0,-a),\ \vec{SC} = (-a,a,-a)$

$\vec{SB} \times \vec{SC} = (a^2,0,-a^2)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{2}$

$S_{SBC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$S_{tp} = S_{ABC} + S_{SAB} + S_{SAC} + S_{SBC}$

$= \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$= a^2 + a^2\sqrt{2}$

$= a^2(1 + \sqrt{2})$