Kẻ \(BK\perp AC\Rightarrow BK\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow BK=d\left(B;\left(SAC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow BK=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Kẻ \(CP\perp BH\Rightarrow CP\perp\left(SBH\right)\)

\(\Rightarrow CP=d\left(C;\left(SBH\right)\right)\)

\(\widehat{CBP}=\widehat{ACB}=30^0\Rightarrow CH=BC.sin30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=a\)\(\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=a\)

Kẻ \(HE\perp BC\) , kẻ \(HF\perp SE\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SBC\right)\right)\)

\(HE=CH.sin30^0=\dfrac{a}{2}\) 

\(\dfrac{1}{HF^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HE^2}\Rightarrow HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án C.

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm AC.

Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đỉnh S cách đều các điểm A, B,C nên hình chiếu của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

suy ra S H ⊥ ( A B C )

Tam giác vuông  SBH, có

Tam giác vuông  ABC ,

có  A B = A C 2 - B C 2 = a 3

Diện tích tam giác vuông

S ∆ A B C = 1 2 B A . B C = a 3 2 2

Vậy  V S . A B C = 1 3 S ∆ A B C . S H = a 3 2

Đáp án C

Hướng dẫn giải:

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC và SA.

Dựng đường thẳng d đi qua H và vuông góc với (ABC). Khi đó d//SA.

Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thằng d 1  đi qua K và vuông góc với SA.

Khi đó,  d 1 //AH.

Gọi I = d ∩ d 1  tại. Ta có được IA = IB = IC = IS.

Khi đó mặt cầu cần tìm ở đề bài đi qua các điểm A, B, C, S có tâm là I và bán kính là R = IA.

Dễ thấy A H = 1 2 B C = b 2 + c 2 2

và I H = 1 2 S A = a 2 .

Trong ∆ I A H có

Vậy là ta hoàn thành xong bài toán.

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra có thể đặt:

$S(a,a\sqrt3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Thể tích khối cầu:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi a^3$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}a^3$

$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do:

$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac a2$

$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$

Khi đó:

$\begin{aligned}
R^2
&=OA^2\
&=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\
&=a^2+\dfrac{h^2}{4}\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$:

$\dfrac{5a^2}{4}=a^2+\dfrac{h^2}{4}$

$\Rightarrow h^2=a^2$

$\Rightarrow h=a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC}=\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Thể tích khối chóp:

$\begin{aligned}
V
&=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h\
&=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\
&=\dfrac{a^3\sqrt3}{6}\end{aligned}$

Chọn C

Dựa vào giả thiết ta có B', C', D' lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC, SD.

Tam giác SAC vuông cân tại A nên C' là trung điểm của SC.

Trong tam giác vuông SAB' ta có:

Đáp án D

Đáp án đúng : C

Đáp án C