Tam giác AOB ~ tam giác COD 
=> [TEX]\frac{OA}{OC}[/TEX] = [TEX]\frac{OB}{OD}[/TEX] =[TEX]\frac{AB}{CD}[/TEX]

=> [TEX]\frac{OA +OB}{OC +OD}[/TEX] = [TEX]\frac{AB}{CD}[/TEX] (1)

Tương tự ta cũng có tam giác IAB ~ tam giác IDC 
=> [TEX]\frac{IA +IB}{ID + IC}[/TEX] = [TEX]\frac{AB}{CD}[/TEX] (2) 
Từ (1)và (2) => đpcm

Câub: 
DỄ C/M tam giác MBO ~ tam giác NDO ( MB/DN = OB/OD ; Góc MBO = góc ODN)
=> góc MOB = góc DON 
=> M ; O ; N thẳng hàng (3)
Dễ c/m I ; M ; N thẳng hàng ( cái này cực dễ ) (4)
=> Từ (3)và (4) => đpcm

a) ta có: ABCD là hình bình hành => AB // CD và AB = CD

mà E là trung điểm của AB ; F là trung điểm của CD

AE = EB = CF = DF (1)

vì AB // CD => EB // DF (2)

từ (1) và (2) => tứ giác DEBF là hình bình hành (đccm)

b) hình bình hành ABCD có:

AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường (1)

xét hình bình hành DEBF có EF cắt BD tại trung điểm mỗi đường (2)
từ (1) và (2) => AC ; BD ; EF đồng quy

c) gọi O là giao điểm của AC ; BD ; EF

xét \(\Delta EOM\) và \(\Delta NOF\) có:

góc EOM = góc NOF (đối đỉnh)

OE = OF 

góc MEF = góc NFE (CE // BF)
=> tam giác EOM = tam giác NOF (g.c.g)
=> ME = NF

ta có: ME // NF

=> tứ giác EMFN là hbh (đccm)

chúc bạn học tốt!! ^^

564576767568768769535737476575678567856856876876697634524545346456457645765756567563

tu giac emfn

a: xét tứ giác AEMF có \(\hat{AEM}=\hat{AFM}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b: AEMF là hình chữ nhật

=>AM cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AM và EF

M đối xứng K qua AC

=>AC⊥MK tại trung điểm của MK

mà AC⊥MF

và MK,MF có điểm chung là M

nên M,K,F thẳng hàng

=>AC⊥MK tại F và F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

Ta có: AEMF là hình chữ nhật

=>MF=AE

mà MK=2MF và AB=2AE
nên MK=AB

Xét tứ giác ABMK có

AB//MK

AB=MK

Do đó: ABMK là hình bình hành

=>AM cắt BK tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AM

nên O là trung điểm của BK

=>B,O,K thẳng hàng

c:

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=MB=MC=\frac{BC}{2}\)

Xét tứ giác AMCK có

F là trung điểm chung của AC và MK

=>AMCK là hình bình hành

=>AK//CM

=>AK//BC

=>AKCB là hình thang

Hình bình hành AMCK có AC⊥MK

nên AMCK là hình thoi

=>CA là phân giác của góc MCK

Hình thang AKCB trở thành hình thang cân khi \(\hat{KCB}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{ABC}=2\cdot\hat{ACB}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}+2\cdot\hat{ACB}=90^0\)

=>\(3\cdot\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=\frac{90^0}{3}=30^0\)

=>\(\hat{ABC}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔMAB có MA=MB và \(\hat{ABM}=60^0\)

nên ΔMAB đều

=>MA=MB=AB=5cm

\(AM=\frac{BC}{2}\)

=>\(BC=2\cdot AM=10\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-5^2=100-25=75\)

=>\(AC=5\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot5\cdot5\sqrt3=\frac{25\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)