A B C I O

Vì \(\widehat{BAC}=60^o\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)

Mà BI,CI là tia phân giác góc \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=60^o\Rightarrow\widehat{BIC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=60^o\Rightarrow sđ\widebat{BC}=120^o\)

Mà \(\widehat{BOC}=sđ\widebat{BC}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o\)

Suy ra tứ giác BIOC nội tiếp hay B,O,I,C cùng thuộc 1 đường tròn

a: Xét (O) có

ΔBAM nội tiếp

BM là đường kính

Do đó: ΔBAM vuông tại A

Xét (O) có

ΔBCM nội tiếp

BM là đường kính

Do đó: ΔBCM vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{BAC};\hat{BMC}\) là các góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\hat{BAC}=\hat{BMC}\)

=>\(\hat{BMC}=60^0\)

Xét ΔBCM vuông tại C có cos BMC=\(\frac{MC}{MB}\)

=>\(\frac{MC}{2R}=cos60=\frac12\)

=>MC=R

Diện tích tam giác BCM là:

\(S_{BCM}=\frac12\cdot MC\cdot MB\cdot\sin BMC\)

\(=\frac12\cdot R\cdot2R\cdot\sin60=R^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)

Xét (O) có

\(\hat{ACB};\hat{AMB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{ACB}=\hat{AMB}=45^0\)

Xét ΔAMB vuông tại A có \(\hat{AMB}=45^0\)

nên ΔAMB vuông cân tại A

=>\(BA=AM=BM\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2\)

ΔBAM vuông tại A

=>\(S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot AM=\frac12\cdot R\sqrt2\cdot R\sqrt2=R^2\)

Diện tích tứ giác ABCM là

\(S_{ABCM}=S_{ABM}+S_{MBC}\)

\(=\frac{R^2\sqrt3}{2}+R^2=R^2\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right)\)

b: Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{ADC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔABE và ΔADC có

\(\hat{ABE}=\hat{ADC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{DAC}\)

Do đó: ΔABE~ΔADC

=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AB\cdot AC=AE\cdot AD\)

Xét (O) có

\(\hat{DBC};\hat{DAC}\) là các góc nội tiếp chắn cung DC

Do đó: \(\hat{DBC}=\hat{DAC}\)

mà \(\hat{DAC}=\hat{DAB}\)

nên \(\hat{DBE}=\hat{DAB}\)

Xét ΔDBE và ΔDAB có

\(\hat{DBE}=\hat{DAB}\)

góc ADB chung

Do đó: ΔDBE~ΔDAB

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DE}{DB}\)

=>\(DB^2=DE\cdot DA\)

Trong tam giác ABC có : ABC + ACB + BAC = 180 => ABC + ACB = 120 

mà BD , CE lần lượt là phân giác của ABC , ACB => 2IBC + 2ICB = 120 <=> IBC + ICB = 60 

Có : DIE+DIC = 180 ( kề bù ) mà DIC = IBC + ICB = 60 ( góc ngoài của tam giác IBC ) 

=> DIE = 120 và DIE + BAC = 180 => AEID nội tiếp

Mình đến trễ mong bạn thông cảm lời giải đây ạ