Ta có:

\(A=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\) \(\left(-1\le x\le1\right)\)

\(=1.\sqrt{1-x}+1.\sqrt{1+x}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

\(A=1.\sqrt{1-x}+1.\sqrt{1+x}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right).\left(1-x+1+x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)

Vậy \(A_{max}=2\), đạt được khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\Leftrightarrow1-x=1+x\Leftrightarrow x=0\)

BĐT Bunhiacopxki là gì vậy bạn ?

a: \(-1\le\sin x\le1\)

=>\(-1+1\le\sin x+1\le1+1\)

=>\(0\le\sin x+1\le2\)

=>\(0\le6\left(\sin x+1\right)\le2\cdot6=12\)

=>\(0\le\sqrt{6\left(\sin x+1\right)}\le\sqrt{12}=2\sqrt3\)

=>\(0-9\le\sqrt{6\left(\sin x+1\right)}-9\le=2\sqrt3-9\)

=>\(-9\le y\le2\sqrt3-9\)

Do đó, ta có:

\(y_{\min}=-9\) khi sin x=-1

=>\(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(y_{\max}=2\sqrt3-9\) khi sin x=1

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

b: \(-1\le\sin\left(x+1\right)\le1\)

=>\(-4\le4\sin\left(x+1\right)\le4\)

=>\(-4-7\le4\sin\left(x+1\right)-7\le4-7\)

=>-11<=y<=-3

Vậy: \(y_{\min}=-11\) khi sin(x+1)=-1

=>\(x+1=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi-1\)

\(y_{\max}\) =-3 khi sin(x+1)=1

=>\(x+1=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi-1\)

a: \(-1\le\sin x\le1\)

=>\(-1+1\le\sin x+1\le1+1\)

=>\(0\le\sin x+1\le2\)

=>\(0\le3\left(\sin x+1\right)\le6\)

=>\(0\le\sqrt{3\left(\sin x+1\right)}\le\sqrt6\)

=>\(0-5\le\sqrt{3\left(\sin x+1\right)}-5\le\sqrt6-5\)

=>-5<=y<=\(\sqrt6-5\)

Do đó: \(y_{\min}=-5\) khi sin x=-1

=>\(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(y_{\max}=\sqrt6-5\) khi sin x=1

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

b: \(-1\le\sin\left(x+8\right)\le1\)

=>\(-6\le6\sin\left(x+8\right)\le6\)

=>\(-6-5\le6\sin\left(x+8\right)-5\le6-5\)

=>-11<=y<=1

Vậy: \(y_{\min}=-11\) khi sin (x+8)=-1

=>\(x+8=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi-8\)

\(y_{\max}=1\) khi sin(x+8)=1

=>\(x+8=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi-8\)

ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:

\(P^2=\left(\sqrt{x}\sqrt{x+xy}+\sqrt{y}\sqrt{y+xy}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x+y+2xy\right)=1+2xy\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(xy\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{4}\)

khi đó \(P^2\le1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)

đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

anh chi oi giup em cau nay voi:cho x+y=4. tim gtln cua: a=(x-2)y+2017

Mấy cái bước suy ra ≥;≤ là có công thức hay là định lý gì không ạ ?

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may