a,Do p là số nguyên tố >3=>p²=3k+1 =>p²-1 chi hết cho 3

Tương tự, ta được q²-1 chia hết cho 3

Suy ra: p²-q² chia hết cho 3(1)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8<=>p²-1 chia hết cho 8

Do q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q-1 và q+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(q-1)(q+1) chia hết cho 8<=>q²-1 chia hết cho 8

Suy ra :p²-q² chia hết cho 8(2)

Từ (1) và (2) suy ra p^2-q^2 chia hết cho BCNN(8;3)<=> p^2-q^2 chia hết cho 24

-Vì p,q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\)p,q có dạng \(3k+1\) hoặc \(3h+2\).

-Có: \(p^2-q^2=p^2+pq-pq-q^2=p\left(p+q\right)-q\left(p+q\right)=\left(p+q\right)\left(p-q\right)\).

*\(p=3k+1;q=3h+2\).

\(p^2-q^2=\left(3k+1+3h+2\right)\left(3k+1-3h-2\right)=\left(3k+3h+3\right)\left(3k+1-3h-2\right)⋮3\)

-Các trường hợp p,q có cùng số dư (1 hoặc 2) khi chia cho 3:

\(\Rightarrow\left(p^2-q^2\right)⋮3̸\).

-Vậy \(\left(p^2-q^2\right)⋮3\)

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

a) Nếu n = 3k+1 thì  n 2 = (3k+1)(3k+1) hay  n 2  = 3k(3k+1)+3k+1

Rõ ràng  n 2  chia cho 3 dư 1

Nếu n = 3k+2 thì  n 2 = (3k+2)(3k+2)  hay  n 2 = 3k(3k+2)+2(3k+2) = 3k(3k+2)+6k+3+1 nên  n 2  chia cho 3 dư 1.

b) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3. Vậy p 2  chia cho 3 dư 1 tức là   p 2 = 3 k + 1  do đó  p 2 + 2003 = 3 k + 1 + 2003 = 3k+2004 ⋮ 3

Vậy p 2 + 2003  là hợp số

a) n không chia hết cho 3 => n chia cho 3 dư 1 hoặc 2

+) n chia cho 3 dư 1 : n = 3k + 1 => n2 = (3k +1).(3k +1) = 9k2 + 6k + 1 = 3.(3k2 + 2k) + 1 => n2 chia cho 3 dư 1

+) n chia cho 3 dư 2 => n = 3k + 2 => n2 = (3k +2).(3k+2) = 9k2 + 12k + 4 = 3.(3k2 + 4k +1) + 1 => n2 chia cho 3 dư 1

Vậy...

b) p là số nguyên tố > 3 => p lẻ => p2 lẻ => p2  + 2003 chẵn => p2 + 2003 là hợp số

p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3

=>p và q đều là các số lẻ và đều không chia hết cho 3

TH1: p=3a+1; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

\(=\left(3a+1-3b-1\right)\left(3a+1+3b+1\right)=\left(3a-3b\right)\left(3a+3b+1\right)=3\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)\) ⋮3(2)

TH2: p=3a+1; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+1+3b+2)(3a+1-3b-2)

=(3a+3b+3)(3a-3b-1)

=3(a+b+1)(3a-3b-1)⋮3(1)

TH3: p=3a+2; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

=(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1)

=(3a+3b+3)(3a-3b+1)

=3(a+b+1)(3a-3b+1)⋮3(3)

TH4: p=3a+2; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2)

=(3a-3b)(3a+3b+4)

=3(a-b)(3a+3b+4)⋮3(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(p^2-q^2\) ⋮3

p,q là các số lẻ

=>p=2a+1; q=2b+1

\(p^2=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)

\(q^2=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1=4b\left(b+1\right)+1\)

Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên a(a+1)⋮2

=>4a(a+1)⋮8

Vì b;b+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên b(b+1)⋮2

=>4b(b+1)⋮8

\(p^2-q^2=\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2\)

=4a(a+1)-4b(b+1)

mà 4a(a+1)⋮8 và 4b(b+1)⋮8

nên \(p^2-q^2\) ⋮8

mà \(p^2-q^2\) ⋮3

và ƯCLN(3;8)=1

nên \(p^2-q^2\) ⋮3*8

=>\(p^2-q^2\) ⋮24

mà 48⋮24

nên \(p^2-q^2-48\) ⋮24