2.

\(cos\left(x-5\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x-5\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-5=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x-5=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=5-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\left\{5-\dfrac{11\pi}{6};5-\dfrac{13\pi}{6}\right\}\)

4.

\(\Leftrightarrow cot3x=cot\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow3x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3}\)

\(-\dfrac{\pi}{2}< x< 0\Rightarrow-\dfrac{\pi}{2}< -\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3}< 0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{6}< k< \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow k=\left\{-1;0\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-\dfrac{4\pi}{9};-\dfrac{\pi}{9}\right\}\)

Bài này đã làm rồi, bạn đăng 1 lần thôi

a, Th1 : \(m-1=0\Rightarrow m=1\)

\(\Rightarrow-x+3=0\\ \Rightarrow x=3\)

Th2 : \(m\ne1\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(m-1\right).3\\ =1-12m+12\\=13-12m \)

phương trình có nghiệm \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow13-12m\ge0\\ \Rightarrow m\le\dfrac{13}{12}\)

b, Áp dụng hệ thức vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1}{m-1}\\x_1x_1=\dfrac{3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Tổng bình phương hai nghiệm bằng 12 \(\Rightarrow x^2_1+x^2_2=12\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{m-1}\right)^2-2.\left(\dfrac{3}{m-1}\right)=12\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}-\dfrac{6}{m-1}=12\\ \Leftrightarrow1-6\left(m-1\right)=12\left(m-1\right)^2\\ \Leftrightarrow1-6m+6=12\left(m^2-2m+1\right)\\ \Leftrightarrow7-6m-12m^2+24m-12=0\\ \Leftrightarrow-12m^2+18m-5=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{9-\sqrt{21}}{12}\\m=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12}\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12}\)

Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành: \(t^2+\left(1-2m\right)t+m^2-1=0\) (1)

\(\Delta=\left(1-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right)=-4m+5\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2m-1\\t_1t_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

Từ \(x^2=t\) (2) ta có nhận xét: nếu \(t< 0\) thì (2) vô nghiệm, nếu \(t=0\) thì (2) có đúng 1 nghiệm \(x=0\), nếu \(t>0\) thì (2) có 2 nghiệm phân biệt \(x=\pm\sqrt{t}\)

Do đó:

a.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi: (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều âm

TH1: (1) vô nghiệm \(\Rightarrow-4m+5< 0\Rightarrow m>\dfrac{5}{4}\)

TH2: (1) có 2 nghiệm đều âm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5\ge0\\t_1+t_2=2m-1< 0\\t_1t_2=m^2-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{5}{4}\\m< \dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -1\)

Kết hợp lại ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m>\dfrac{5}{4}\\m< -1\end{matrix}\right.\)

b.

Pt có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có đúng 2 nghiệm trái dấu (khi đó nghiệm dương của t sẽ cho 2 nghiệm x và nghiệm âm ko cho nghiệm x nào)

\(\Rightarrow t_1t_2=m^2-1< 0\Rightarrow-1< m< 1\)

c.

Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5>0\\t_1+t_2=2m-1>0\\t_1t_2=m^2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)

d.

Pt có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5>0\\t_1+t_2=2m-1>0\\t_1t_2=m^2-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1< m< \dfrac{5}{4}\)

À ừ đúng rồi em quên mất TH (1) có nghiệm kép dương nữa

ĐKXĐ: \(x<>\frac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\sqrt3\cdot\cot^2x-4\cdot\cot x+\sqrt3=0\) (1)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=16-2\cdot3=16-6=10>0\)

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}\cot x=\frac{4-\sqrt{10}}{2\cdot\sqrt3}=\frac{4-\sqrt{10}}{\sqrt{12}}=\frac{4\sqrt3-\sqrt{30}}{6}\\ cotx=\frac{4+\sqrt{10}}{2\cdot\sqrt3}=\frac{4+\sqrt{10}}{\sqrt{12}}=\frac{4\sqrt3+\sqrt{30}}{6}\end{array}\right.\)

TH1: \(\cot x=\frac{4\sqrt3-\sqrt{30}}{6}\)

=>\(x=arc\cot\left(\frac{4\sqrt3-\sqrt{30}}{6}\right)+k\pi\) (nhận)

TH2: \(\cot x=\frac{4\sqrt3+\sqrt{30}}{6}\)

=>\(x=arc\cot\left(\frac{4\sqrt3+\sqrt{30}}{6}\right)+k\pi\) (nhận)

1: \(2\cdot cos^2x+7\cdot\sin x-5=0\)

=>\(2\left(1-\sin^2x\right)+7\cdot\sin x-5=0\)

=>\(2-2\cdot\sin^2x+7\cdot\sin x-5=0\)

=>\(-2\cdot\sin^2x+7\cdot\sin x-3=0\)

=>\(2\cdot\sin^2x-7\cdot\sin x+3=0\)

=>(sin x-3)(2sin x-1)=0

TH1: sin x-3=0

=>sin x=3(vô lý)

=>Loại

TH2: 2 sin x-1=0

=>2 sin x=1

=>\(\sin x=\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi=\frac56\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

2: \(2\cdot cos^2x+5\cdot\sin x-4=0\)

=>\(2\left(1-\sin^2x\right)+5\cdot\sin x-4=0\)

=>\(-2\cdot\sin^2x+5\cdot sinx-2=0\)

=>\(-\left(2\cdot\sin x-1\right)\left(\sin x-2\right)=0\)

TH1: sin x-2=0

=>sin x=2

=>Loại

TH2: 2 sin x-1=0

=>2 sin x=1

=>\(\sin x=\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi=\frac56\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

3: cos2x+3sin x=2

=>\(1-2\cdot\sin^2x+3\cdot\sin x-2=0\)

=>\(-2\cdot\sin^2x+3\cdot\sin x-1=0\)

=>\(2\cdot\sin^2x-3\cdot\sin x+1=0\)

=>(sin x-1)(2sin x-1)=0

TH1: sin x-1=0

=>sin x=1

=>\(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

TH2: 2 sin x-1=0

=>2 sin x=1

=>\(\sin x=\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi=\frac56\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

4: cos2x+3cosx-4=0
=>\(2\cdot cos^2x-1+3\cdot cosx-4=0\)

=>\(2\cdot cos^2x+3\cdot cosx-5=0\)

=>\(2\cdot cos^2x+5\cdot cos^2x-2\cdot cosx-5=0\)

=>(2cosx-5)(cosx-1)=0

TH1: 2 cosx-5=0

=>cosx=5/2

=>Loại

Th2: cos x-1=0

=>cosx=1

=>\(x=k2\pi\)

5: \(cosx+cos\left(\frac{x}{2}\right)+1=0\)

=>\(2\cdot cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1+cos\left(\frac{x}{2}\right)+1=0\)

=>\(2\cdot cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+cos\left(\frac{x}{2}\right)=0\)

=>\(cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\left\lbrack2\cdot cos^{}\left(\frac{x}{2}\right)+1\right\rbrack=0\)

TH1: \(cos\left(\frac{x}{2}\right)=0\)

=>\(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

=>\(x=\pi+k2\pi\)

TH2: \(2\cdot cos\left(\frac{x}{2}\right)+1=0\)

=>\(cos\left(\frac{x}{2}\right)=-\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac23\pi+k2\pi\\ \frac{x}{2}=-\frac23\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac43\pi+k4\pi\\ x=-\frac43\pi+k4\pi\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-3\right)\left(2sinx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=3>1\left(loại\right)\\sinx=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)