Lời giải:

a. 

$12n^2-5n-25=(3n-5)(4n+5)$

Để $12n^2-5n-25$ là số nguyên tố thì một trong hai thừa số $3n-5, 4n+5$ phải bằng $1$ và số còn là là số nguyên tố. 

Mà $3n-5< 4n+5$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên $3n-5=1$

$\Rightarrow n=2$

Thử lại thấy $12n^2-5n-25=13$ là snt (thỏa mãn)

b.

Với $n=1$ thì $n^{2021}+n^{22}+1=3$ là snt

Với $n\geq 2$ thì:

$n^{2021}+n^{22}+1=(n^{2021}-n^2)+(n^{22}-n)+(n^2+n+1)$

$=n^2(n^{2019}-1)+n(n^{21}-1)+(n^2+n+1)$

$=n^2[(n^3)^{673}-1]+n[(n^3)^7-1)]+(n^2+n+1)$

$=n^2(n^3-1).A+n(n^3-1).B+(n^2+n+1)$

$=n^2(n-1)(n^2+n+1).A+n(n-1)(n^2+n+1)B+(n^2+n+1)$

$=(n^2+n+1)[n^2(n-1)A+n(n-1)B+1]$

Trong đó, $A,B$ chỉ là ký hiệu thay thế cho biểu thức dài khi khai triển HĐT.

Dễ thấy $n^2+n+1>2$ với mọi $n\geq 2$ nên để biểu thức là snt thì:

$n^2(n-1)A+n(n-1)B+1=1$

$\Rightarrow n^2(n-1)A+n(n-1)B=0$ (điều này vô lý với $n\geq 2; A, B>2$ với mọi $n\geq 2$)

Do đó $n=1$ là đáp án duy nhất/

a: \(A=n^2-4n+3\)

\(=n^2-n-3n+3\)

=n(n-1)-3(n-1)

=(n-1)(n-3)

Để A là số nguyên tố thì có hai trường hợp:

TH1: n-1=1 và n-3 là số nguyên tố

=>n=2 và 2-3=-1 là số nguyên tố(Sai)

=>Loại

TH2: n-3=1 và n-1 là số nguyên tố

=>n=1+3=4 và n-1 là số nguyên tố

=>n=4 và 4-1 là số nguyên tố

=>n=4 và 3 là số nguyên tố, Đúng

=>Nhận

Vậy: n=4

b: \(B=n^4+4\)

\(=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(=\left(n^2+2\right)^2-4n^2\)

\(=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

TH1: \(\begin{cases}n^2-2n+2=1\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n^2-2n+1=0\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(n-1\right)^2=0\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n=1\\ 1^2+2\cdot1+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}n=1\\ 5\in P\end{cases}\)

=>NHận

TH2: \(\begin{cases}n^2+2n+2=1\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n^2+2n+1=0\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(n+1\right)^2=0\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n=-1\left(loại\right)\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>Loại

Vậy: n=1

a) Học sinh tự làm

b) 2 n + 1 n + 1 ( n ≠ − 1 ) có giá trị là số nguyên khi (2n +1) ⋮  (n +1) hay [2(n +1) -1] ⋮  (n +1)

Từ đó suy ra 1 ⋮  (n +1)

Do đó n ∈  {- 2;0).

Để B nguyên thì 5n+1+6 chia hết cho 5n+1

=>\(5n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

mà n nguyên

nên \(n\in\left\{0;1\right\}\)

b:Ta có: \(A=\frac{2n-1}{n+8}-\frac{n-14}{n+8}\)

\(=\frac{2n-1-n+14}{n+8}=\frac{n+13}{n+8}\)

Để A là số nguyên thì n+13⋮n+8

=>n+8+5⋮n+8

=>5⋮n+8

=>n+8∈{1;-1;5;-5}

=>n∈{-7;-9;-3;-13}

a) Để C là phân số thì \(n+6\ne0\)

\(\Rightarrow n\ne-6\)

Vậy \(n\ne-6\)

b) Để C là số nguyên thì \(5n-1⋮n+6\)

\(\Rightarrow5n-30+31⋮n+6\)

\(\Rightarrow5\left(n-6\right)+31⋮n+6\)

Mà \(n+6⋮n+6\)

\(\Rightarrow31⋮n+6\)

\(\Rightarrow n+6\inƯ\left(31\right)=\left\{\pm1;\pm31\right\}\)

...  (tự làm)

Bài chị Vũ Huyền làm gần đúng câu b, cho Mạnh "mạn phép" được sửa lại:

b) Để biểu thức C là 1 số nguyên thì 5n - 1 \(⋮\)n + 6  (n \(\inℤ\))

=> 5n - 1 \(⋮\)n + 6  (n \(\inℤ\))

=> 5n + 30 - 31 \(⋮\)n + 6

=> 5(n + 6) - 31 \(⋮\)n + 6

Vì 5(n + 6) - 31 \(⋮\)n + 6 và 5(n + 6) \(⋮\)n + 6

Nên 31 \(⋮\)n + 6

Tự lm tiếp :))