a: ĐKXĐ: n<>2

Đặt \(A=\frac{n+1}{n-2}\)

Để A là số nguyên âm thì \(\begin{cases}n+1\vdots n-2\\ \frac{n+1}{n-2}<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}n-2+3\vdots n-2\\ -1

=>\(\begin{cases}3\vdots n-2\\ -1

=>n=1

b: \(\frac{n+7}{3n-1}\) là số nguyên

=>n+7⋮3n-1

=>3n+21⋮3n-1

=>3n-1+22⋮3n-1

=>22⋮3n-1

=>3n-1∈{1;-1;2;-2;11;-11;22;-22}

=>3n∈{2;0;3;-1;12;-10;23;-21}

=>n∈{2/3;0;1;-1/3;4;-10/3;23;-7}

mà n là số nguyên

nên n∈{0;1;4;-7}

c: \(\frac{3n+2}{4n-5}\) là số tự nhiên

=>\(\begin{cases}3n+2\vdots4n-5\\ \frac{3n+2}{4n-5}\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}12n+8\vdots4n-5\\ \left[\begin{array}{l}n>\frac54\\ n\le-\frac23\end{array}\right.\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}12n-15+23\vdots4n-5\\ \left[\begin{array}{l}n>\frac54\\ n\le-\frac23\end{array}\right.\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}23\vdots4n-5\\ \left[\begin{array}{l}n>\frac54\\ n\le-\frac23\end{array}\right.\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4n-5\in\left\lbrace1;-1;23;-23\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}n>\frac54\\ n<=-\frac23\end{array}\right.\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}n\in\left\lbrace\frac12;1;7;-\frac92\right\rbrace\\ \left[\begin{array}{l}n>\frac54\\ n\le-\frac23\end{array}\right.\end{cases}\)

=>n=7

gọi d là ƯC(3n-2; 4n-3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-2⋮d\\4n-3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(3n-2\right)⋮d\\3\left(4n-3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n-8⋮d\\12n-9⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\) \(\left(12n-8\right)-\left(12n-9\right)\) \(⋮\) \(d\)

\(\Rightarrow\) \(12n-8-12n+9\) \(⋮\) \(d\)

\(\Rightarrow\) \(\left(12n-12n\right)+\left(9-8\right)\) \(⋮\) \(d\)

\(\Rightarrow\) \(0+1\) \(⋮\) \(d\)

\(\Rightarrow\) \(1\) \(⋮\) \(d\)

\(\Rightarrow\) \(d\inƯ\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(\text{3n-2 và 4n - 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{3n-2}{4n-3}\) là phân số tối giản

1/ Đặt ƯCLN(3n - 2; 4n - 3) = d

=> \(3n-2⋮d\)và \(4n-3⋮d\)

hay \(4.\left(3n-2\right)⋮d\)và \(3.\left(4n-3\right)⋮d\)

hay \(12n-8⋮d\)và \(12n-9⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(12n-8\right)-\left(12n-9\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow12n-8-12n+9⋮d\)

\(\Leftrightarrow-8+9⋮d\)

Vậy \(1⋮d\)hay \(d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)

=> 3n - 2 và 4n - 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> phân số \(\frac{3n-2}{4n-3}\)tối giản.

mình thua

bo tay

a) Ta có: \(\dfrac{5-n}{7+n}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(7+n\right)=5-n\)

\(\Leftrightarrow3n+21-5+n=0\)
\(\Leftrightarrow4n+16=0\)

\(\Leftrightarrow4n=-16\)

hay n=-4

Vậy: n=-4

b) Ta có: \(\dfrac{3+n}{18-n}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(n+3\right)=3\left(18-n\right)\)

\(\Leftrightarrow4n+12-54+3n=0\)

\(\Leftrightarrow7n=42\)

hay n=6

Vậy: n=6

Câu 3 : 

b. P là nguyên tố khi và chỉ khi n + 4 chia hết cho 2n - 1 

=> 2n + 8 chia hết cho 2n - 1  

mà 2n - 1 chia hết cho 2n - 1 . Suy ra 9 chia hết cho 2n - 1 

=> 2n - 1 \(\inƯ\)(9) = { 1 , 3 , 9 }

=> 2n - 1 \(\in\) { 1 ,3 , 9 }

=> 2n\(\in\){ 2 , 4 ,10}

=> n\(\in\){ 1, 2 ,5 }

=> P\(\in\){ 5 , 2 , 1 }

Vì P là nguyên tố nên P\(\in\){ 5,2}

vậy n\(\in\){ 1 , 2 }

Câu 4 :