\(n^2+2n+30\) là số chính phương

=>\(n^2+2n+30=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(n^2+2n+1-k^2=-29\)

=>\(\left(n+1\right)^2-k^2=-29\)

=>(n+1-k)(n+1+k)=-29

=>(n+1-k;n+1+k)∈{(1;-29);(-29;1);(-1;29);(29;-1)}

TH1: n+1-k=1 và n+1+k=-29

=>n+1-k+n+1+k=1-29

=>2n+2=-28

=>2n=-30

=>n=-15(loại)

TH2: n+1-k=-29 và n+1+k=1

=>n+1-k+n+1+k=1-29

=>2n+2=-28

=>2n=-30

=>n=-15(loại)

TH3: n+1-k=-1 và n+1+k=29

=>n+1-k+n+1+k=-1+29

=>2n+2=28

=>2n=26

=>n=13(nhận)

TH4: n+1-k=29 và n+1+k=-1

=>n+1-k+n+1+k=-1+29

=>2n+2=28

=>2n=26

=>n=13(nhận)

\(n^2+404=a^2\Leftrightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=1.404=4.101=2.202\)

+a -n =4 và a+n =101 => n =(101-4):2  = loại

+a-n=1 ; a +n =404 => n = (404 -1):2 =loại

+ a -n =2 ; a+n =202 => n =(202 -2 ) :2 = 100

Vậy n =100

Đặt A=n^4+n^3+1 

với n=1=>A=3=>loại

với n\(\ge\)2 ta có: (2n²+n−1)2< 4A ≤(2n²+n) => 4A = ( 2n²+ n )²  => n = 2 ( thỏa mãn )

- bạn trả lời rõ ra 1 chút đc ko?

Đặt \(A=n^2-4n+7\) .

1. Với n = 0 => A = 7 không là số chính phương (loại)

2. Với n = 1 => A = 4 là số chính phương (nhận)

3. Với n > 1 , ta xét khoảng sau : \(n^2-4n+4< n^2-4n+7< n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)^2< A< n^2\)

Vì A là số tự nhiên nên  \(A=\left(n-1\right)^2\Leftrightarrow n^2-4n+7=n^2-2n+1\Leftrightarrow2n=6\Leftrightarrow n=3\)

Thử lại, n = 3 => A = 4 là một số chính phương.

Vậy : n = 1 và n = 3 thoả mãn đề bài .

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP