Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Lấy điểm \(R\in AB|\angle BCR=\angle ABN\). $CR$ cắt $BM$ tại $K$ và $BN$ tại $E$

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \angle BCR=\angle ABN\\ \angle RBC=\angle NAB=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABN\sim \triangle BCR\)

\(\Rightarrow 1=\frac{AB}{BC}=\frac{AN}{BR}\Rightarrow AN=BR(1)\)

Từ hai tam giác đồng dạng ta cũng suy ra \(\angle ANE=\angle ANB=\angle CRB=\angle ERB\)

Xét tứ giác $AREK$ có \(\angle A+\angle ARE+\angle ANE+\angle NER=360^0\)

\(\Leftrightarrow 90^0+\angle ARE+\angle ERB+\angle NER=360^0\)

\(\Leftrightarrow 90^0+180^0+\angle NER=360^0\Rightarrow \angle NER=90^0\rightarrow BE\perp RK\)

Tam giác $RBK$ có $BE$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $RBK$ là tam giác cân tại $B$

\(\Rightarrow BR=BK(2)\). Từ \((1),(2)\Rightarrow AN=BK\)

Tam giá $RBK$ cân \(\Rightarrow \angle BRK=\angle BKR=\angle MKC\)

Mà \(\angle BRK=\angle KCM\) (so le trong) nên \(\angle MKC=\angle KCM\Rightarrow \triangle KMC\) cân tại $M$

\(\Rightarrow CM=MK\)

Do đó, \(AN+CM=BK+MK=BM\) (đpcm)

\(\)

Trên tia đối của tia CD em lấy điểm J sao cho CJ = AI. Qua M vẽ đường thẳng song song với BI cắt BJ tại N 
Dễ cm tam giác vuông ABI = tam giác vuông CBJ => BI = BJ 
Mặt khác dễ cm BI _|_ BJ => MN _|_ BJ 
Và => MBJ = 90⁰ - MBI => 90⁰ - ABI = 90⁰- CBJ = MJB => tam giác MBJ cân tại M => N là trung điểm của BJ 
Ta có MI >= BN = BJ/2 = BI/2 ( vì BIMN là hình thang vuông tại B và N) ( đpcm) 
Hay BI =< 2MI (đpcm)

https://giaibaitapvenha.blogspot.com/2017/12/en-voi-do-homework-for-you-e-trai.html

giúp với huhu

a: Xét ΔBAM và ΔBNM có

BA=BN

\(\widehat{ABM}=\widehat{NBM}\)

BM chung

Do đó: ΔBAM=ΔBNM

b: Ta có: ΔBAM=ΔBNM

=>MA=MN

=>M nằm trên đường trung trực của AN(1)

ta có: BA=BN

=>B nằm trên đường trung trực của AN(2)

Từ (1) và (2) suy ra BM là đường trung trực của AN

=>BM\(\perp\)AN tại H và H là trung điểm của AN

vì H là trung điểm của AN

nên HA=HN

c: Ta có: CK\(\perp\)BM

HN\(\perp\)BM

Do đó: CK//HN

Bài 2: 

a: \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CFE}=60^0\\\widehat{AEB}=\widehat{CEF}=60^0\end{matrix}\right.\)

=>ΔCFE đều

b: Xét tứ giác ABCD có 

\(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0\)

Do đó: ABCD là tứ giác nội tiếp

Trên cạnh AE, lấy K sao cho AK=AD

mà AD=AB

nên AK=AB

Xét ΔADM và ΔAKM có

AD=AK

\(\hat{DAM}=\hat{KAM}\)

AM chung

Do đo: ΔADM=ΔAKM

=>\(\hat{ADM}=\hat{AKM}\)

=>\(\hat{AKM}=90^0\)

=>MK⊥AE tại K

Xét ΔAKN và ΔABN có

AK=AB

\(\hat{KAN}=\hat{BAN}\)

AN chung

Do đó: ΔAKN=ΔABN

=>\(\hat{AKN}=\hat{ABN}\)

=>\(\hat{AKN}=90^0\)

=>NK⊥AE tại K

ta có; NK⊥AE

MK⊥AE
mà NK,MK có điểm chung là K

nên N,M,K thẳng hàng

=>AE⊥MN tại K