cho a và b là các sô thực dương. CMR
a3/(a2+b2)+b3/(b2+1)+1/(a2+1)>=(a+b+1)/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
P
CMR :1,a2+b2=<a+b>2-2ab
2,a3+b3=<a+b>3-3ab.<a+b>
3,a3-b3=<a-b>3+3ab.<a+b>
Cho :a+b=1
Tính :A=a3+b3+3ab
2
16 tháng 8 2021
2
Ta có:
VP=(a+b)3−3ab(a+b)VP=(a+b)3-3ab(a+b)
=a3+b3+3ab(a+b)−3ab(a+b)=a3+b3+3ab(a+b)-3ab(a+b)
=a3+b3=VT(dpcm)
CH
16 tháng 8 2021
1, \(VT=a^2+b^2=a^2+b^2+2ab-2ab=\left(a+b\right)^2-2ab=VP\left(đpcm\right)\)
CM
6 tháng 10 2019
a) Phân tích a 2 – 6ab + 9 b 2 = ( a – 3 b ) 2 ; thực hiện phép chia được kết quả a – 3b.
b) Phân tích a 3 + 9 a 2 b + 27a b 2 – 27 b 3 = ( a – 3 b ) 3 ; thực hiện phép chia được kết quả a – 3b.
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
26 tháng 9 2021
\(N=a^3+b^3+3ab\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\)
=1
26 tháng 9 2021
\(M=\left(a^2+b^2+2-a^2-b^2+2\right)\left[\left(a^2+b^2+2\right)^2+\left(a^2+b^2+2\right)\left(a^2+b^2-2\right)+\left(a^2+b^2-2\right)^2\right]-12\left(a^2+b^2\right)^2\\ M=4\left(a^4+b^4+4+4a^2+4b^2+2a^2b^2+\left(a^2+b^2\right)^2-4+a^4+b^4+4-4a^2-4b^2+2a^2b^2\right)-12\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)\\ M=4\left(3a^4+3b^4+4+6a^2b^2\right)-12\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)\\ M=4\left(3a^4+3b^4+4+6a^2b^2-3a^4-6a^2b^2-3b^4\right)\\ M=4\cdot4=164\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
15 tháng 10 2025
a: \(a^2+4a=b^2+4b+1\)
=>\(a^2+4a-b^2-4b=0\)
=>(a-b)(a+b)+4(a-b)=0
=>(a-b)(a+b+4)=0
mà a-b<>0
nên a+b+4=0
=>a+b=-4
b: Đặt \(X=a^3+b^3\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(-4\right)^3-3ab\cdot\left(-4\right)=-64+12ab\)
\(a^2+4a=1\)
=>\(a^2+4a-1=0\)
=>\(a^2+4a+4-5=0\)
=>\(\left(a+2\right)^2=5\)
=>\(\left[\begin{array}{l}a+2=\sqrt5\\ a+2=-\sqrt5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}a=\sqrt5-2\\ a=-\sqrt5-2\end{array}\right.\)
\(b^2+4b=1\)
=>\(b^2+4b-1=0\)
=>\(b^2+4b+4-5=0\)
=>\(\left(b+2\right)^2=5\)
=>\(\left[\begin{array}{l}b+2=\sqrt5\\ b+2=-\sqrt5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}b=\sqrt5-2\\ b=-\sqrt5-2\end{array}\right.\)
Vì a<>b nên sẽ có hai trường hợp sau:
TH1: \(a=\sqrt5-2;b=-\sqrt5-2\)
=>\(ab=\left(\sqrt5-2\right)\left(-\sqrt5-2\right)=-\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)=-1\)
X=-64+12ab
=-64-12
=-76
TH2: \(a=-\sqrt5-2;b=\sqrt5-2\)
=>\(ab=\left(\sqrt5-2\right)\left(-\sqrt5-2\right)=-\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)=-1\)
X=-64+12ab
=-64-12
=-76
Vậy: X=-76
c: Đặt \(Y=a^4+b^4\)
\(=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)
\(=\left\lbrack\left(a+b\right)^2-2ab\right\rbrack^2-2\cdot\left(ab\right)^2\)
\(=\left\lbrack\left(-4\right)^2-2\cdot\left(-1\right)\right\rbrack^2-2\cdot\left(-1\right)^2=\left\lbrack16+2\right\rbrack^2-2\)
\(=18^2-2\)
=324-2
=322
NA
1
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
nhận thấy nếu áp dụng bất đẳng thức như bình thường thì ta sẽ bị ngược dấu, do đó ta dùng kỹ thuật cauchy ngược dấu
ta có:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)=a-\(\dfrac{a.b^2}{a^2+b^2}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{a.b^2}{2ab}\)=a-\(\dfrac{b}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)=b-\(\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\ge\)b-\(\dfrac{b}{2b}\)=b-\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{a^2+1}\)=1-\(\dfrac{a^2}{a^2 +1}\)\(\ge\)1-\(\dfrac{a^2}{2a}\)=1-\(\dfrac{a}{2}\)
cộng từng vế của bất đẳng thức lại với nhau ta được:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)+\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)+\(\dfrac{1}{a^2+1}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{b}{2}\)+b-\(\dfrac{1}{2}\)+1-\(\dfrac{a}{2}\)=\(\dfrac{a+b+1}{2}\)