Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$

Vì tam giác $SAB$ vuông tại $B$ nên:

$SB \perp AB$

Vì tam giác $SAC$ vuông tại $C$ nên:

$SC \perp AC$

Suy ra có thể đặt:

$S(a,a\sqrt3,h)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Thể tích khối cầu:

$\dfrac43\pi R^3=\dfrac{5\sqrt5}{6}\pi a^3$

Suy ra:

$R^3=\dfrac{5\sqrt5}{8}a^3$

$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do:

$OA=OB \Rightarrow x=\dfrac a2$

$OA=OC \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$OA=OS \Rightarrow z=\dfrac h2$

Khi đó:

$\begin{aligned}
R^2
&=OA^2\
&=\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac h2\right)^2\
&=a^2+\dfrac{h^2}{4}\end{aligned}$

Thay $R=\dfrac{a\sqrt5}{2}$:

$\dfrac{5a^2}{4}=a^2+\dfrac{h^2}{4}$

$\Rightarrow h^2=a^2$

$\Rightarrow h=a$

Diện tích đáy:

$S_{ABC}=\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Thể tích khối chóp:

$\begin{aligned}
V
&=\dfrac13 S_{ABC}\cdot h\
&=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\
&=\dfrac{a^3\sqrt3}{6}\end{aligned}$

Đáp án đúng : C

Đáp án C

Đáp án C

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a$ nên đặt:

$S(a,0,a)$

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$SA \perp AB$ ⇒ tam giác vuông tại $A$

$S_{SAB} = \dfrac{1}{2} SA \cdot AB = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AC} = (-a,a,0)$

$|\vec{SA} \times \vec{AC}| = a^2\sqrt{2}$

$S_{SAC} = \dfrac{1}{2} a^2\sqrt{2} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$\vec{SB} = (-a,0,-a),\ \vec{SC} = (-a,a,-a)$

$\vec{SB} \times \vec{SC} = (a^2,0,-a^2)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{2}$

$S_{SBC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$S_{tp} = S_{ABC} + S_{SAB} + S_{SAC} + S_{SBC}$

$= \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$= a^2 + a^2\sqrt{2}$

$= a^2(1 + \sqrt{2})$

Chọn đáp án B

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a$ nên đặt:

$S(a,0,a)$

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} a \cdot a = \dfrac{a^2}{2}$

Mặt $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow S_{SAB} = \dfrac{1}{2} SA \cdot AB = \dfrac{a^2}{2}$

Mặt $SAC$:

$\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AC} = (-a,a,0)$

$|\vec{SA} \times \vec{AC}| = a^2\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{SAC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

Mặt $SBC$:

$\vec{SB} = (-a,0,-a),\ \vec{SC} = (-a,a,-a)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{SBC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$S_{tp} = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} + \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$

$= a^2 + a^2\sqrt{2}$

ΔSAB vuông tại A

=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)

=>\(SA^2=\left(2a\right)^2-a^2=3a^2\)

=>\(SA=a\sqrt3\)

ΔBAC vuông tại B

=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot a\cdot a=\frac12a^2\)

Thể tích khối chóp S.ABC là:

\(V=\frac13\cdot SA\cdot S_{ABC}=\frac13\cdot\frac12\cdot a^2\cdot a\sqrt3=\frac{a^2\sqrt3}{6}\)

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC = \dfrac{a^2}{2}$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{2}$ nên chiều cao:

$h = SA = a\sqrt{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a\sqrt{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Đáp án C.

Thể tích cần tính

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC = \dfrac{a^2}{2}$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{2}$ nên chiều cao:

$h = SA = a\sqrt{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a\sqrt{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}$