\(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy^2+x^2y=\left(\frac{1}{16x}+xy^2\right)+\left(\frac{1}{16y}+x^2y\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\ge\frac{y}{2}+\frac{x}{2}+\frac{15}{16}.\frac{4}{x+y}\)

\(=\left(\frac{x+y}{2}+\frac{1}{2\left(x+y\right)}\right)+\frac{13}{4\left(x+y\right)}\)

\(\ge1+\frac{13}{4}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:

\(18x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{18x.\frac{2}{x}}=12\)

Chứng minh tương tự, ta có

\(18y+\frac{2}{y}\ge12\)

\(18z+\frac{2}{z}\ge12\)

Từ đó suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge36\)(*)

Lại có \(x+y+z\le1\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-1\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\ge36-1\)

                           \(\Leftrightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)

Vậy \(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)với \(x+y+z\le1\)

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Bạn chỉ cần giả sử 3 số đó có tồn tại là được.