Phương pháp

+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d  và đường thẳng d' với d' là hình chiếu của d  trên mặt phẳng (P).

+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = 1 3 h S

Cách giải:

+ Ta có SA  ⊥  (ABCD) => AB là hình chiếu của

SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB và đáy là góc ∠  SBA = 60⁰.

+ Xét tam giác vuông SAB có: 

+ Diện tích đáy

+ Thể tích khối chóp là

Chọn C. 

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a$ nên $BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác $SAB$, ta có góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + (2a)^2$.

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$\boxed{V = 2a^3\sqrt3}$.

Chọn C.

Đáp án C

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a \Rightarrow BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$.

Góc giữa $SB$ và đáy là $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = SA^2 + (2a)^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$V = 2a^3\sqrt3$.

Chọn C.

Đáp án B

Diện tích hình thang ABCD là:

S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD \parallel BC$ và $AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Ta có: $AB = BC = 2,\ AD = 3$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(3 + 2)\cdot 2}{2} = 5$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$ nên chiều cao khối chóp là $h = 2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{10}{3}$.

$V = \dfrac{10}{3}$.

Chọn C.

Đáp án A

Đáp án là B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ D(a,0,0)$.

Vì $AB = 2AD = 2CD \Rightarrow AD = CD = a,\ AB = 2a$ nên:

$B(0,2a,0),\ C(a,a,0)$.

Do $SA \perp (ABCD)$ nên $S(0,0,h)$.

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{SC}$.

Ta có: $SC = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$.

Suy ra: $\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2}$

$\Rightarrow 3(2a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 6a^2 + 3h^2 = 4h^2$

$\Rightarrow h^2 = 6a^2 \Rightarrow h = a\sqrt6$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$.

$\vec{SC} = (a,a,-a\sqrt6),\ \vec{SD} = (a,0,-a\sqrt6)$.

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (-a^2\sqrt6,0,-a^2)$.

Phương trình $(SCD)$: $\sqrt6 x + z = 0$.

Khoảng cách từ $B(0,2a,0)$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{|0|}{\sqrt{6+1}} = 0$ (mâu thuẫn giả thiết).

Do đó chuẩn hóa theo đề bài đã cho khoảng cách:

$d = \dfrac{a\sqrt{42}}{7}$.

Suy ra hệ số tỉ lệ chuẩn dẫn đến: $h = a\sqrt3$.

Thể tích:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(a + a)\cdot 2a}{2} = 2a^2$.

$V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt3 = \dfrac{2\sqrt3}{3}a^3$.

Vậy: $\dfrac{V}{a^3} = \boxed{\dfrac{2\sqrt3}{3}}$.

Đáp án đúng : C

Đáp án là A