f(0)=2 => m.0 + n=2 => n=2 (1)

f(-1)=3 => -m + n=3 (2)

Thế (1) vào (2) ta được

-m +2=3 <=> m=-1

Vậy m= - 1 ; n = 2

Lời giải:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} f(0)=m.0+n=-2\\ f(1)=m.1+n=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=-2\\ m=-1-n\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=-2\\ m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy........

Lời giải: 

Với $x>1$

$f(x)=m(x^2+2x+1)-2x+3>0\Leftrightarrow m>\frac{2x-3}{(x+1)^2}$

$\Leftrightarrow m>\frac{2x-3}{(x+1)^2}(\max)$ khi $x>1$

Xét $g(x)=\frac{2x-3}{(x+1)^2}$ với $x>1$

$g(x)=\frac{2(x+1)-5}{(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}-\frac{5}{(x+1)^2}=\frac{1}{5}-5(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{5})^2\leq \frac{1}{5}$ với mọi $x>1$

Do đó: $m>\frac{1}{5}$

a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

f(x) = (2m-2)x+m-3=0

Nếu  2m-2=0 =>  m=1  =>  f(x)= 0+1-3=0 (vô lí)

=>  m=1 (nhận)

Nếu 2m-2\(\ne\)0  => m\(\ne\) 1

f(x) có n_o  x= 3-m/2m-2 

=> m\(\ne\)1 (loại)

Vậy m=1 thì f(x) vô nghiệm

có thể ghi đề rõ hơn được không

Ta có: \(f\left(x\right)=x^4+mx^3+21x^2+x+n\)

\(=x^4-x^3-2x^2+\left(m+1\right)x^3-\left(m+1\right)x^2-\left(2m+2\right)x\) +(m+23)\(x^2\) -(m+23)x-(2m+46)+x(2m+2+m+23+1)+n+2m+46

\(=\left(x^2-x-2\right)\left(x^2+\left(m+1\right)\cdot x+m+23\right)\) +x(3m+26)+n+2m+46

Để f(x) chia hết cho g(x) thì 3m+26=0 và n+2m+46=0

=>3m=-26 và n=-2m-46

=>\(m=-\frac{26}{3};n=-2m-46=-2\cdot\frac{-26}{3}-46=\frac{52}{3}-46=\frac{-86}{3}\)