Giả sử có 2 đường thẳng a và a’ đi qua A và vuông góc với d.

Vì a \( \bot \) d, mà a’ \( \bot \) d nên a // a’ (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Mà A \( \in \) a, A \( \in \) a'

\( \Rightarrow a \equiv a'\)

Vậy có duy nhất đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.

a: góc ABO+góc ACO=180 độ

=>ABOC nội tiếp

b: Xét ΔABP và ΔAQB có

góc ABP=góc AQB

góc BAP chung

=>ΔABP đồng dạng với ΔAQB

=>AB^2=AP*AQ

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

\( M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow n \)

Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\) (ĐPCM).

(a) và (b) không song song nên (a) cắt (b), gọi giao điểm là O. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b

(a) và (b) không song song nên (a) cắt (b), gọi giao điểm là O. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b

Gọi A là giao điểm của a và b.

Theo giả thiết c ⟘ a hay SR ⟘ AQ hay SR là đường cao của ΔASQ.

d ⟘ b hay PQ ⟘ AS hay QP là đường cao của ΔASQ.

SR cắt QP tại M ⇒ M là trực tâm của ΔASQ

⇒ AM ⟘ SQ

Vậy đường thẳng đi qua M và vuông góc với SQ cũng đi qua A (đpcm).

a: (d) có hệ số góc là m

=>(d): y=mx+b

Thay x=3/2 và y=-1 vào (d), ta được:

\(m\cdot\frac32+b=-1\)

=>b=-1-1,5m

=>(d): y=mx-1,5m-1

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\hat{BFE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

=>\(\hat{ABE}=\hat{BFE}\)

Xét ΔABE và ΔAFB có

\(\hat{ABE}=\hat{AFB}\)

góc BAE chung

Do đó: ΔABE~ΔAFB

=>\(\frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AB^2=AE\cdot AF\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\)

=>\(AH\cdot AO=AE\cdot AF\)

=>\(\frac{AH}{AF}=\frac{AE}{AO}\)

Xét ΔAHE và ΔAFO có

\(\frac{AH}{AF}=\frac{AE}{AO}\)

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔAFO

=>\(\hat{AHE}=\hat{AFO}\)

mà \(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHE}+\hat{OFE}=180^0\)

=>FEHO là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{OEF}=\hat{OHF}\)