2: Xét ΔEAB và ΔEMD có

góc EAB=góc EMD

góc EBA=góc EDM

=>ΔEAB đồng dạng với ΔEMD

=>EA/EM=AB/MD=AB/MC

=>ME/EA=MC/AB

Xét ΔFMC và ΔFBA có

góc FMC=góc FBA

góc MFC=góc BFA

=>ΔFMC đồng dạng với ΔFBA

=>FM/FB=MC/BA=ME/MA

=>EF//AB

=>FE/AB=MF/MB=1:(1+BF/MF)=1:(1+AB/CD)=1:(AB+CD)/CD

=CD/(AB+CD)

a: Xét tứ giác ABPD có 

AB//PD

AB=PD

Do đó: ABPD là hình bình hành

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có 

Q là trung điểm của AD
P là trung điểm của CD

Do đó: QP là đường trung bình

=>QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

b: Để MNPQ là hình thoi thì MN=MQ

hay AC=BD

Xét ΔDEM và ΔBEA có 

\(\widehat{DEM}=\widehat{BEA}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{DME}=\widehat{BAE}\)(hai góc so le trong, DM//AB)

Do đó: ΔDEM\(\sim\)ΔBEA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{DM}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(1)

Xét ΔMFC và ΔBFA có 

\(\widehat{MFC}=\widehat{BFA}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{MCF}=\widehat{BAF}\)(hai góc so le trong, AB//MC)

Do đó: ΔMFC\(\sim\)ΔBFA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{FM}{FB}=\dfrac{CM}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(2)

Ta có: M là trung điểm của CD(gt)

nên CM=DM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FB}\)

Xét ΔMAB có 

E\(\in\)AM(gt)

\(F\in BM\)(gt)

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FB}\)(cmt)

Do đó: EF//AB(Định lí Ta lét đảo)

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=>MN//AB//CD và \(MN=\frac12\left(AB+CD\right)\)

Xét ΔDAB có ME//AB

nên \(\frac{ME}{AB}=\frac{DM}{DA}=\frac12\)

=>\(ME=\frac12AB\)

Xét ΔCAB có NF//AB

nên \(\frac{NF}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac12\)

=>\(NF=\frac12AB\)

ME+EF+FN=MN

=>\(EF+\frac12AB+\frac12AB=\frac12\left(CD+AB\right)\)

=>\(EF=\frac12\left(CD+AB-2AB\right)=\frac12\left(CD-AB\right)\)