Câu hỏi của Trần Trọng Nghĩa

Question

tính:s=1*3*5-3*5*7+5*7*9-7*9*11+...+97*99*101-99*101*103

giúp mình với ạ

ദ്ദി ˉ͈̀꒳ˉ͈́ )✧ണìղհէú · Accepted Answer

Để tính tổng $S = 1 \cdot 3 \cdot 5 - 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 - 7 \cdot 9 \cdot 11 + \dots + 97 \cdot 99 \cdot 101 - 99 \cdot 101 \cdot 103$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xét số hạng tổng quát và nhân thêm một hằng số để triệt tiêu các số hạng ở giữa.

1. Xét số hạng tổng quát

Mỗi số hạng của tổng có dạng:

$$A_n = (2n-1)(2n+1)(2n+3) ext{ với } n = 1, 2, 3, \dots, 50$$

Tổng có dạng:

$$S = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + \dots + A_{49} - A_{50}$$

2. Phương pháp nhân thêm hằng số

Để rút gọn các dãy số tích kiểu này, ta thường nhân với số liền sau cộng số liền trước của dãy. Với khoảng cách giữa các thừa số là $2$, ta nhân $S$ với $8$:

Xét tích: $(2n-1)(2n+1)(2n+3) \cdot 8$

Ta có thể tách $8 = [(2n+5) + (2n-3)]$.

Khi đó:

$$(2n-1)(2n+1)(2n+3) \cdot 8 = (2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5) + (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)$$

3. Áp dụng vào tổng $S$

Gọi $f(n) = (2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)$. Khi đó:

$8A_1 = f(1) + f(0)$ (với $f(0) = (-3)(-1)(1)(3) = 9$)
$8A_2 = f(2) + f(1)$
$8A_3 = f(3) + f(2)$
...
$8A_{50} = f(50) + f(49)$

Thay vào biểu thức $8S$:

$$8S = (f(1) + f(0)) - (f(2) + f(1)) + (f(3) + f(2)) - \dots - (f(50) + f(49))$$

4. Triệt tiêu số hạng

Khi phá ngoặc, các số hạng $f(1), f(2), \dots, f(49)$ sẽ triệt tiêu lẫn nhau do đan dấu:

$$8S = f(0) + f(1) - f(2) - f(1) + f(3) + f(2) - f(4) - f(3) + \dots - f(50) - f(49)$$

Sau khi rút gọn, ta chỉ còn lại:

$$8S = f(0) - f(50)$$

5. Tính kết quả cuối cùng

$f(0) = (-1) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 = -15$ (Lưu ý: Tính theo công thức $f(n)$ ở bước 3)
Cách khác dễ hơn: Tính trực tiếp $8A_1 = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8 = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (7+1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1$.
$f(50) = 99 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 105$

Vậy:

$$8S = (-1) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 - 99 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 105$$ $$8S = -15 - 108.107.515$$ $$8S = -108.107.530$$ $$S = -13.513.441,25$$Câu trả lời:

Để tính tổng $S = 1 \cdot 3 \cdot 5 - 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 - 7 \cdot 9 \cdot 11 + \dots + 97 \cdot 99 \cdot 101 - 99 \cdot 101 \cdot 103$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xét số hạng tổng quát và nhân thêm một hằng số để triệt tiêu các số hạng ở giữa.

1. Xét số hạng tổng quát

Mỗi số hạng của tổng có dạng:

$$A_n = (2n-1)(2n+1)(2n+3) ext{ với } n = 1, 2, 3, \dots, 50$$

Tổng có dạng:

$$S = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + \dots + A_{49} - A_{50}$$

2. Phương pháp nhân thêm hằng số

Để rút gọn các dãy số tích kiểu này, ta thường nhân với số liền sau cộng số liền trước của dãy. Với khoảng cách giữa các thừa số là $2$, ta nhân $S$ với $8$:

Xét tích: $(2n-1)(2n+1)(2n+3) \cdot 8$

Ta có thể tách $8 = [(2n+5) + (2n-3)]$.

Khi đó:

$$(2n-1)(2n+1)(2n+3) \cdot 8 = (2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5) + (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)$$

3. Áp dụng vào tổng $S$

Gọi $f(n) = (2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)$. Khi đó:

$8A_1 = f(1) + f(0)$ (với $f(0) = (-3)(-1)(1)(3) = 9$)
$8A_2 = f(2) + f(1)$
$8A_3 = f(3) + f(2)$
...
$8A_{50} = f(50) + f(49)$

Thay vào biểu thức $8S$:

$$8S = (f(1) + f(0)) - (f(2) + f(1)) + (f(3) + f(2)) - \dots - (f(50) + f(49))$$

4. Triệt tiêu số hạng

Khi phá ngoặc, các số hạng $f(1), f(2), \dots, f(49)$ sẽ triệt tiêu lẫn nhau do đan dấu:

$$8S = f(0) + f(1) - f(2) - f(1) + f(3) + f(2) - f(4) - f(3) + \dots - f(50) - f(49)$$

Sau khi rút gọn, ta chỉ còn lại:

$$8S = f(0) - f(50)$$

5. Tính kết quả cuối cùng

$f(0) = (-1) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 = -15$ (Lưu ý: Tính theo công thức $f(n)$ ở bước 3)
Cách khác dễ hơn: Tính trực tiếp $8A_1 = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8 = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (7+1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1$.
$f(50) = 99 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 105$

Vậy:

$$8S = (-1) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 - 99 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 105$$ $$8S = -15 - 108.107.515$$ $$8S = -108.107.530$$ $$S = -13.513.441,25$$

1. Xét số hạng tổng quát

2. Phương pháp nhân thêm hằng số

3. Áp dụng vào tổng $S$

4. Triệt tiêu số hạng

5. Tính kết quả cuối cùng

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

1. Xét số hạng tổng quát

2. Phương pháp nhân thêm hằng số

3. Áp dụng vào tổng $S$

4. Triệt tiêu số hạng

5. Tính kết quả cuối cùng

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP