Ta có hình minh họa:

Qua C kẻ đường thẳng song song với AM.

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC

Gọi D là giao của hai đường thẳng vừa dựng được ở trên.

Xét tứ giác ADCM ta có: AD // MC (gt); CD // AM (gt)

Suy ra tứ giác ADCM là hình bình hành(Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành)

AD = MC; MC = MB (gt); ⇒ AD = BM (tính chất bác cầu)

Xét tứ giác ABMD có:

AD // BM (gt)

AD = BM (cmt)

Suy ra tứ giác ABMD là hình bình hành(tứ giác có 1 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành)

Gọi G; I lần lượt là giao điểm của BD với AM và AC khi đó:

G là trung điểm của AM (hình bình hành 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Suy ra G trùng E vì mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm duy nhất.

⇒ BE = ED

I ∈ ED ⇒ IE < ED = BE

Kết luận: BE > IE

Qua M, kẻ MK//BI(K∈IC)

Xét ΔAMK có

E là trung điểm của AM

EI//MK

Do đó: I là trung điểm của AK

=>AI=IK(1)

Xét ΔBEC có

M là trung điểm của BC

MK//BI

Do đó: K là trung điểm của IC

=>KI=KC(2)

Từ (1),(2) suy ra AI=IK=KC

Xét ΔAMK có

E,I lần lượt là trung điểm của AM,AK

=>EI là đường trung bình của ΔAMK

=>\(EI=\frac{MK}{2}\)

=>MK=2EI

Xét ΔBIC có

M,K lần lượt là trung điểm của CB,CI

=>MK là đường trung bình của ΔBIC

=>MK//BI và \(MK=\frac{BI}{2}\)

=>\(\frac{BI}{2}=2EI\)

=>BI=4EI

=>BE=3EI

Qua M, kẻ MK//BI(K∈IC)

Xét ΔAMK có

E là trung điểm của AM

EI//MK

Do đó: I là trung điểm của AK

=>AI=IK(1)

Xét ΔBEC có

M là trung điểm của BC

MK//BI

Do đó: K là trung điểm của IC

=>KI=KC(2)

Từ (1),(2) suy ra AI=IK=KC

Xét ΔAMK có

E,I lần lượt là trung điểm của AM,AK

=>EI là đường trung bình của ΔAMK

=>\(EI=\frac{MK}{2}\)

=>MK=2EI

Xét ΔBIC có

M,K lần lượt là trung điểm của CB,CI

=>MK là đường trung bình của ΔBIC

=>MK//BI và \(MK=\frac{BI}{2}\)

=>\(\frac{BI}{2}=2EI\)

=>BI=4EI

=>BE=3EI