\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AM\) (1)

Tam giác SAB vuông cân tại A (do SA=SB=a)

\(\Rightarrow AM\perp SB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao) (2)

(1);(2)\(\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM\perp SC\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(AN\perp SC\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(AMN\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(AMN\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SC\Rightarrow H\in\left(AMN\right)\)

Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAC}\) là góc giữa (AMN) và (ABCD)

\(AC=a\sqrt{2}\) ; \(SC=a\sqrt{3}\)

\(sin\widehat{HAC}=cos\widehat{SCA}=\dfrac{AC}{SC}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow\widehat{HAC}\approx54^044'\)

AM là hình chiếu của SM trên (ABCD).

- Xét tam giác vuông ABM ta có: 

- Xét tam giác vuông SAM ta có: 

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.

Ta có 

Do đó (SBC) ⊥ (SIK)

b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).

Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK

ta có 

Ta lại có:

Do đó:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng 

a)

Ta có $ABCD$ là hình vuông nên:
$AD \parallel BC$.

Gọi $I,\ K$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ BC$ nên:
$IK \parallel AB$.

Mặt khác:
$SA = SB = SC = SD$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình vuông.

Suy ra:
$SO \perp (ABCD)$.

Do đó:
$SO \perp IK$ và $SO \perp BC$.

Xét hai mặt phẳng $(SIK)$ và $(SBC)$:

Ta có:
$IK \parallel AB \perp BC$ nên:
$IK \perp BC$.

Mặt khác:
$SO \perp BC$.

Suy ra:
$BC \perp (SIK)$.

Mà $BC \subset (SBC)$ nên:
$(SIK) \perp (SBC)$.

b)

Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.

Ta có:
$SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AD$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

Ta có $AD \perp BD$ và $AD \perp SO$ nên:
$AD \perp (SBD)$.

Suy ra khoảng cách giữa $AD$ và $SB$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

Tính:

Trong tam giác vuông $SBD$:

$BD = a\sqrt{2}$, $SB = a\sqrt{2}$, $SD = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \triangle SBD$ đều.

Diện tích:
$S_{SBD} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot h$ với $h = d(A,(SBD))$.

Mặt khác:
$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot SO$.

Tính $SO$:

$OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2a^2 - \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Suy ra:
$V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

Do đó:
$\dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot d = V$

$\Rightarrow d = \dfrac{3V}{S_{SBD}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}$

$= \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = a\sqrt{2}$.

Tuy nhiên đề cho giá trị cạnh AC với BC bị sai. Cạnh huyền AC (\(a\sqrt{3}\)) sao lại có giá trị nhỏ hơn cạnh góc vuông BC (2a) nhỉ?