Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O₁) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O₂) đường kính BH cắt CB tại F.

a) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi (O₃) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C  qua O. Chứng minh ba điểm H, O₃, D thẳng hàng.

c) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF.

Cho (O;R) đường kính AB . Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy điểm D (D # A) kẻ tiếp tuyến DC với (O) ( C là tiếp điểm , C#A

a) chứng minh DO vuông với AC ​, A và C đối xứng nhau qua DO 

b) BC cắt AD tại L . Chứng minh OD // BC và D là trung điểm AL 

c) Gọi E là trung điểm BL. Chứng minh D, E, C ,O là bốn đỉnh của một hình thang 

d) Chứng minh rằng S_ADC  /S_ABC = AC^2 / 2BC^2 . Suy ra độ dài AC theo R khi S_SADC / S_SABC = 3/2

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M,K,N theo thứ tự là trung điểm của AH,ED,BC.

a) Chứng minh: M,K,N thẳng hàng

b) Tính góc MDN.

c) AH cắt BC tại F. Chứng minh: S_ADE = S_ABC . cos²A

d) Chứng minh S_ADE = (1 - cos² A -cos² B -cos² C).S_ABC

e) Giả sử góc BAC=45⁰ Tính các tỉ số \(\frac{HD}{HC}\)và \(\frac{DE}{BC}\)

Cho M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Tiếp tuyến của (O) tại M, tại A, tại B lần lượt là d , d₁,d₂.Biết d cắt d₁,d₂ lần lượt tại D,E.Vẽ đường tròn (I) đường kính DE.

a)chứng minh DE = DA+EB

b)chứng minh OI = \(\frac{DE}{2}\)

c)chứng minh AB là tiếp tuyến của (I)

Cho tam giác ABC đều. Trên AB lấy M; trên BC lấy N; trên AC lấy P sao cho \(AM=\frac{1}{2}BM\); \(BN=\frac{1}{2}CN\); \(CP=\frac{1}{2}AP\). Biết CM cắt AN tại A₁; CM cắt BP tại B₁; AN cắt BP tại C₁.

a) Tính góc BA₁C

b) Chứng minh: Diện tích tam giác ABC bằng 7 lần diện tích tam giác A₁B₁C_1.

cho 3 đường thẳng : (d₁) : y= (m²-5)x + (m²-5) với m khác 1 và -1

                                        (d₂): y=x+1                (d₃): y=-x+3

a) chứng minh khi m thây đổi thì d₁ luôn đi qua 1 điểm cố định.

b) chứng minh nếu (d₁)//(d₃) thì (d₁) vuông góc với (d²)

c) xác định m để 3 đường thẳng trên đồng quy