Cho $x^2 + y^2 = 1$. Chứng minh rằng biểu thức $A=2(x^6+y^6)-3(x^4+y^4)$ không phụ thuộc vào $x, y$.

Cho $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2$. Chứng minh rằng: $ad = bc$.

Chứng minh rằng

Cho $x^2 = y^2 + z^2$. Chứng minh rằng: $(5x - 3y + 4z)(5x - 3y - 4z) = (3x - 5y)^2$.

Cho $(a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d)$. Chứng minh rằng: $ad = bc$

Cho $a,b,c$ đôi một khác nhau, thỏa mãn $a + b + c = 0$.

a) Chứng minh rằng: $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

b) Áp dụng tính $B = \dfrac{(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3}{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3}$.

Chứng minh rằng, nếu:

a) $a + b + c = 0$ thì $a^3 + a^2c - abc + b^2c + b^3 = 0$;

b) $(y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2 = (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2 + (x + y - 2z)^2$ thì $x = y = z$.

Cho $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng: $(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 2(a^4 + b^4 + c^4)$.

Cho $x + y + z = 0$. Chứng minh rằng: $2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)$.

Tìm các số dương $a,\,b$ thỏa mãn $a^3+b^3+8=6ab$.

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ.

Cho $x^2+y^2+z^2=x y+y z+z x$. Chứng minh $x=y=z$.

Chứng minh $x^4 + 4y^4 = (x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$. Áp dụng để chứng minh: Với $n \gt 1$, số $A = n^4 + 4^n$ không bao giờ là số nguyên tố.

Cho các số $a, b, c, d, e$ thỏa mãn: $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = a(b + c + d + e)$ và $a = b$. Chứng minh rằng: $a = b = c = d = e = 0$.

Cho $2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx - 4x + 6y + 13 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $M = (x - 2)^{2\,025} + (y + 3)^{2\,025} + z^{2\,025}$.

Cho $a + b + c = 0$ và $a, b, c \neq 0$. Chứng minh đẳng thức sau luôn đúng: $\dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{b^2}{ca} + \dfrac{c^2}{ab} = 3$.

Cho $a,\,b,\,c$ và $x,\,y,\,z$ khác $0$ thỏa mãn $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$ và $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$.

Cho $(3x - 2y - z)^2 + (3y - 2z - x)^2 + (3z - 2x - y)^2 = (x - 2y + z)^2 + (y - 2z + x)^2 + (z - 2x + y)^2$. Chứng minh rằng: $x = y = z$.

Cho $(2a + 3b + 4c + 5d)(2a - 3b - 4c + 5d) = (2a - 3b + 4c - 5d)(2a + 3b - 4c - 5d)$. Chứng minh rằng: $5ad = 6bc$.

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $z^2 = 3x^2 - 3y^2$. Chứng minh rằng $(7x + y + 4z)(7x + y - 4z) = (x + 7y)^2$.