I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Một số loại dãy số có quy luật thường gặp
Dãy số cách đều:
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ liên tiếp.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó.
Dãy số không cách đều:
- Dãy Fibonacci hay Tribonacci.
- Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
2. Công thức chung với dãy só cách đều (viết theo thứ tự tăng dần)
Tính số số hạng của dãy số:
Số số hạng = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1
Tính tổng các số hạng trong dãy số:
Tổng dãy số = (Số đầu + Số cuối) × Số số hạng : 2
Tìm một số hạng biết số thứ tự của nó trong dãy số:
Số hạng thứ n = Số đầu + (n − 1) × Khoảng cách
Tìm số cuối biết số hạng đầu tiên của nó trong dãy số:
Số cuối = Số đầu + (Số số hạng − 1) × Khoảng cách
Tìm số hạng đầu tiên biết số cuối của nó trong dãy số:
Số hạng đầu tiên = Số cuối − (Số số hạng − 1) × Khoảng cách
Lưu ý: Trước khi áp dụng công thức, các em phải xác định chính xác khoảng cách của dãy số bằng cách lấy số hạng sau trừ số hạng liền trước.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
3. Một số cách tính tổng đặc biệt
Tổng các giá trị của dãy số tự nhiên từ 1 đến n:
A = 1 + 2 + 3 + … + (n − 1) + n = n × (n + 1) : 2
A = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 +.…+ (n – 1) × n = \(\frac13\) × n × (n – 1) × (n + 1)
A = 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ... + (n − 1) × (n + 1) = \(\frac16\) × n × (n −1 ) × (2n + 1)
A = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + (n − 2) × (n − 1) × n = \(\frac14\) × (n − 2) × (n − 1) × n × (n + 1)
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU
📖 Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Phương pháp: Tìm hiệu của hai số hạng liên tiếp để xác định khoảng cách (nếu là dãy cách đều) hoặc tìm quy luật đặc biệt (số sau bằng tổng hai số trước, hoặc số sau bằng số trước nhân với một số...).
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, ..., .... Hãy điền thêm 2 số tiếp theo của dãy số trên.
Bài giải
Ta thấy 1 + 3 = 4; 4 + 3 = 7; 7 + 3 = 10; ... Vậy đây là dãy cách đều có khoảng cách là 3.
Số tiếp sau 10 là: 10 + 3 = 13. Số tiếp sau 13 là: 13 + 3 = 16.
Kết quả: 1, 4, 7, 10, 13, 16.
📖 Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
Phương pháp: Kiểm tra xem số a có thỏa mãn công thức tổng quát của dãy không. Thông thường, ta xét hiệu (a − Số đầu) có chia hết cho khoảng cách hay không.
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 5, 9, 13, ... Hỏi số 100 có thuộc dãy này không?
Bài giải
Dãy số trên là dãy số cách đều 4 đơn vị.
Xét hiệu: 100 − 1 = 99. Vì 99 không chia hết cho 4 nên số 100 không thuộc dãy này.
📖 Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy số
Phương pháp: Sử dụng công thức: (Số cuối − Số đầu) : Khoảng cách + 1.
Ví dụ: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, ..., 152. Hỏi dãy số đó có bao nhiêu số hạng?
Bài giải
Ta thấy dãy số trên là dãy số cách đều 3 đơn vị.
Số số hạng là: (152 − 2) : 3 + 1 = 51 (số hạng).
📖 Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số
Phương pháp: Sử dụng công thức: Số hạng thứ n = Số đầu + (n − 1) × Khoảng cách.
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19, ... Hỏi số hạng thứ 25 của dãy số trên là bao nhiêu?
Bài giải
Dãy số trên là dãy số cách đều 6 đơn vị.
Số hạng thứ 25 là: 1 + (25 − 1) × 6 = 145.
📖 Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng
Phương pháp: Chia dãy thành các nhóm: nhóm có 1 chữ số (1 - 9), nhóm có hai chữ số (10 - 99),... sau đó tính tổng chữ số từng nhóm.
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 2, 3, ..., 100. Dãy này có bao nhiêu chữ số?
Bài giải
Ta thấy:
Từ 1 đến 9: Có 9 số, mỗi số có một chữ số nên có: 9 × 1 = 9 (chữ số).
Từ 10 đến 99: Có (99 − 90) + 1 = 90 số. Mỗi số có hai chữ số nên có: 90 × 2 = 180 (chữ số).
Số 100: Có 1 số có ba chữ số nên có 3 chữ số.
Vậy dãy trên có số chữ số là: 9 + 180 + 3 = 192 (chữ số).
💡 Mẹo giải nhanh cho các em:
Khi gặp bài toán viết từ 1 đến một số tròn nghìn, tròn trăm, các em có thể nhớ các "mốc" sau để tính nhẩm nhanh:
- Từ 1 đến 99 có 189 chữ số.
Vậy từ 1 đến 100 chỉ cần lấy: 189 + 3 = 192 (chữ số)
- Từ 1 đến 999 có 2 889 chữ số.
Vậy từ 1 đến 1 000 chỉ cần lấy 2 889 + 4 = 2 893 (chữ số).
📖 Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số của dãy số
Phương pháp: Làm ngược lại dạng 5. Trừ dần số chữ số của các nhóm (một chữ số, hai chữ số...) để tìm ra số cuối cùng.
Ví dụ: Một dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 có 175 chữ số. Hỏi dãy đó có bao nhiêu số hạng?
Bài giải
Nhóm một chữ số có 9 chữ số. Vậy còn lại: 175 − 9 = 166 (chữ số).
Vậy thì có số các số có hai chữ số là: 166 : 2 = 83 (số).
Số cuối cùng trong dãy là: 9 + 83 = 92.
Vậy dãy số trên có 92 số hạng.
📖 Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy số
Phương pháp: Xác định chữ số thứ n nằm ở số hạng có bao nhiêu chữ số, sau đó tìm số đó và vị trí chữ số trong số đó.
Ví dụ: Tìm chữ số thứ 20 của dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Bài giải
Chữ số thứ 1 đến 9 thuộc các số có một chữ số. Còn lại: 20 − 9 = 11 chữ số thuộc các số có hai chữ số.
Do 11 : 2 = 5 nên số hạng có chứa chữ số thứ 20 là số thứ sáu, tức là số 15. Chữ số thứ 20 là chữ số thứ nhất của số 15, tức là chữ số 1.
📖 Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
Phương pháp: Dựa vào công thức tổng để tìm số số hạng n, sau đó dùng n để tìm số hạng cuối.
Ví dụ: Cho dãy 1, 3, 5, 7, ... , biết tổng các số hạng trong dãy là 225. Tìm số hạng cuối.
Bài giải
Dãy số đã cho là dãy các số lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1. Vậy tổng của n số hạng đầu tiên trong dãy đó được tính theo công thức:
Tổng của n số hạng đầu tiên = Số thứ tự của số hạng cuối cùng nhân với chính nó.
Ta có: n × n = 225, vậy nên n = 15. Số cuối là số hạng thứ 15.
Số hạng thứ 15 là: 1 + (15 − 1) × 2 = 29.
📖 Dạng 9: Tính tổng của dãy số
Phương pháp: Sử dụng công thức: (Số đầu + Số cuối) × Số số hạng : 2.
Ví dụ: Tính tổng các số hạng của dãy: 3, 6, 9, 12, ..., 210.
Bài giải
Số số hạng của dãy số trên là: (210 − 3) : 3 + 1 = 70.
Tổng các số hạng trong dãy trên là: (3 + 210) × 70 : 2 = 7 455.
📖 Dạng 10: Dạng toán về dãy chữ
Phương pháp: Xác định một chu kỳ (nhóm chữ) có bao nhiêu chữ cái. Lấy số thứ tự n chia cho số chữ cái trong chu kỳ để tìm số dư và xác định chữ cái tương ứng.
Ví dụ: Cho dãy chữ cái O, L, M, O, L, M, O, L, M, .... Hỏi chữ cái thứ 20 là gì?
Bài giải
Ta thấy rằng trong dãy chữ trên, mỗi chu kỳ có 3 chữ cái.
Ta có: 20 : 3 = 6 (dư 2). Dư 2 tức là chữ cái thứ hai của chu kỳ, đó là chữ L.
