Tổng hợp kiến thức và bài tập mẫu SVIP

I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm

Để giải quyết tốt dạng toán này, các em cần nắm vững 4 quy tắc sau đây:

1. Quy ước đơn vị:

Coi toàn bộ công việc cần thực hiện là 1 đơn vị.

2. Mối liên hệ giữa thời gian và năng suất:

Nếu một người làm xong công việc trong \(x\) ngày (giờ, phút, ...), thì trong 1 ngày (giờ, phút, ...) người đó làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.

Công thức: Năng suất (1 đơn vị thời gian) = 1 : Tổng thời gian.

Nếu thời gian làm càng nhiều thì số phần công việc làm trong 1 ngày (1 giờ, 1 phút, ...) càng ít và ngược lại.

3. Nguyên tắc cộng năng suất:

Khi nhiều người (hoặc nhiều vòi nước, ...) cùng làm (chảy) chung, năng suất chung trong một đơn vị thời gian bằng tổng năng suất của từng người (vòi) làm (chảy) riêng.

Công thức: Năng suất chung = Năng suất A + Năng suất B.

4. Tính thời gian hoàn thành:

Thời gian làm chung để xong công việc = 1 : Năng suất chung.

II. Phân dạng bài tập mẫu

1. Dạng 1: Công việc làm chung liên tục

1.1. Dạng biết thời gian làm riêng của từng người, tính thời gian làm chung

Cách giải:

Cách 1:

Bước 1: Xác định công việc chung cần làm và coi như một đơn vị trọn vẹn.

Bước 2: Tìm lượng công việc từ đối tượng làm riêng trong 1 đơn vị thời gian. (= 1 : thời gian của từng đối tượng hoàn thành công việc một mình)

Bước 3: Tìm lượng công việc cả nhóm đối tượng làm chung trong 1 đơn vị thời gian. (= tổng công việc các đối tượng làm riêng trong 1 đơn vị thời gian)

Bước 4: Tìm thời gian cả nhóm người cùng hoàn thành công việc đó. (= 1 : lượng công việc cả nhóm đối tượng làm chung trong 1 đơn vị thời gian)

Cách 2:

Bước 1: Xác định công việc chung cần làm và chia công việc chung ra thành những phần bằng nhau. (số phần là số chia hết cho thời gian hoàn thành công việc của từng đối tượng)

Bước 2: Tìm số phần công việc của từng đối tượng làm riêng trong một giờ.

Bước 3: Tìm tổng số phần công việc mà cả nhóm cùng làm chung trong một giờ.

Bước 4: Tìm thời gian cả nhóm người hoàn thành công việc đó.

Bài tập mẫu:

Bài 1: Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 4 giờ. Người thứ hai làm một mình xong công việc đó trong 6 giờ. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì sau bao lâu sẽ xong công việc?

Phân tích: Ta cần tìm xem trong 1 giờ cả hai làm được bao nhiêu phần công việc.

Bài giải:

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được là:

\(1:4=\frac14\) (công việc)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được là:

\(1:6=\frac16\) (công việc)

Trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được là:

\(\frac14+\frac16=\frac{5}{12}\) (công việc)

Nếu hai người cùng làm thì thời gian cần để xong công việc là:

\(1:\frac{5}{12}=\frac{12}{5}\) (giờ)

Đổi: \(\frac{12}{5}\) giờ = 2 giờ 24 phút.

Đáp số: 2 giờ 24 phút.

Bài 2: Người thứ nhất đi từ A đến B hết 2 giờ. Người thứ hai đi từ B về A thì hết 3 giờ. Hỏi nếu cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A và người thứ hai đi từ B thì sau bao lâu họ gặp nhau?

Phân tích:

- So sánh quãng đường người thứ nhất đi trong 2 giờ và người thứ hai đi trong 3 giờ. (đều là quãng đường AB).

- So sánh tổng quãng đường hai người đi cùng một lúc đến khi gặp nhau với quãng đường AB. (bằng quãng đường AB).

Bài giải:

Cách 1:

Coi quãng đường AB là một đơn vị ta có:

Trong 1 giờ, người thứ nhất đi được là: \(1:2=\frac12\) (quãng đường AB)

Trong 1 giờ, người thứ hai đi được là: \(1:3=\frac13\) (quãng đường AB)

Trong 1 giờ, cả hai người đi được là: \(\frac12+\frac13=\frac56\) (quãng đường AB)

Vậy thời gian hai người đi đến khi gặp nhau là:

\(1:\frac56=\frac65\) (giờ)

Đổi: \(\frac65\) giờ = 1 giờ 12 phút

Đáp số: 1 giờ 12 phút.

Cách 2:

Vì 6 chia hết cho 2 và 3 nên coi quãng đường AB gồm 6 phần bằng nhau.

Trong 1 giờ, người thứ nhất đi được số phần quãng đường là: 6 : 2 = 3 (phần)

Trong 1 giờ, người thứ hai đi được số phần quãng đường là: 6 : 3 = 2 (phần)

Trong 1 giờ, cả hai người đi được số phần quãng đường là: 3 + 2 = 5 (phần)

Vậy thời gian hai người đi đến khi gặp nhau là: \(6:5=\frac65\) (giờ)

Đổi: \(\frac65\) giờ = 1 giờ 12 phút

Đáp số: 1 giờ 12 phút.

Bài 3: Một hồ nước có ba vòi: hai vòi dùng để cấp nước vào hồ và một vòi dùng để xả nước ra. Nếu chỉ mở vòi thứ nhất thì hồ đầy sau 8 giờ, chỉ mở vòi thứ hai thì hồ đầy sau 4 giờ, còn nếu chỉ mở vòi thứ ba thì hồ đầy sẽ bị rút cạn trong 3 giờ. Ban đầu hồ không có nước. Hỏi nếu mở đồng thời cả ba vòi thì sau bao lâu hồ sẽ đầy?

Cách 1:

Ta quy ước thể tích của hồ nước là 1 đơn vị.

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy vào được: \(1:8=\frac18\) (hồ nước)

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy vào được: \(1:4=\frac14\) (hồ nước)

Trong 1 giờ vòi thứ ba tháo ra hết: \(1:3=\frac13\) (hồ nước)

Trong 1 giờ cả 3 vòi cùng chảy thì lượng nước trong hồ tăng lên:

\(\frac18+\frac14-\frac13=\frac{1}{24}\) (hồ nước)

Nếu mở cả ba vòi thì cần số giờ để đầy hồ là:

\(1:\frac{1}{24}=24\) (giờ)

Đáp số: 24 giờ.

Cách 2.

Ta thấy 24 là số nhỏ nhất vừa chia hết cho cả 8; 4 và 3. Vậy nếu chia thể tích hồ nước đó thành 24 phần bằng nhau thì:

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy vào được: 24 : 8 = 3 (phần)

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy vào được: 24 : 4 = 6 (phần)

Trong 1 giờ vòi thứ ba tháo ra hết: 24 : 3 = 8 (phần)

Trong 1 giờ cả 3 vòi cùng chảy thì lượng nước trong hồ tăng lên là: (3 + 6) − 8 = 1 (phần)

Thời gian cả 3 vòi cùng chảy đầy hồ là: 24 : 1 = 24 (giờ)

Đáp số: 24 giờ.

1.2. Dạng biết thời gian làm chung, tính thời gian làm riêng của từng người.

Cách giải:

Cách 1:

Bước 1: Xác định công việc chung và coi như một đơn vị trọn vẹn.

Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị thời gian. (= 1 : thời gian hoàn thành chung công việc)

Bước 3: Tìm lượng công việc riêng cần tìm trong 1 đơn vị thời gian. (= công việc cả nhóm − công việc riêng đã biết trong cùng đơn vị thời gian)

Bước 4: Tìm thời gian làm riêng của đối tượng cần tìm. (= 1 : công việc làm riêng cần tìm trong 1 đơn vị thời gian)

Cách 2:

Bước 1: Chia công việc thành những phần bằng nhau. (số phần là số chia hết cho thời gian hoàn thành công việc làm chung, làm riêng đã biết)

Bước 2: Tìm số phần công việc làm chung, làm riêng đã biết trong một đơn vị thời gian.

Bước 3: Tìm số phần công việc còn lại trong đơn vị thời gian đó.

Bước 4: Tìm thời gian hoàn thành công việc của đối tượng làm riêng cần tìm.

Bài tập mẫu:

Bài 1. Hai người thợ cùng làm một công việc thì hoàn thành trong 3 giờ. Nếu chỉ có người thứ nhất làm thì cần 7 giờ mới xong. Hỏi nếu chỉ có người thứ hai làm thì phải mất bao lâu để hoàn thành công việc đó?

Phân tích: Công việc cần làm là lượng không đổi.

Để tìm được thời gian người thứ hai làm xong công việc một mình cần biết gì? (số phần công việc làm trong 1 giờ).

Để biết số phần công việc người thứ hai làm trong 1 giờ làm thế nào? (= số phần công việc làm chung − số phần công việc làm riêng của người thứ nhất)

Bài giải

Cách 1:

Coi công việc cần hoàn thành là một 1 đơn vị.

Trong 1 giờ, hai người cùng làm được số phần công việc là: \(1:3=\frac13\)(công việc).

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được số phần công việc là: \(1:7=\frac17\) (công việc).

Số công việc của người thợ thứ hai làm trong 1 giờ là: \(\frac13-\frac17=\frac{4}{21}\)(công việc).

Vậy nếu chỉ người thứ hai làm thì xong công việc trong số giờ là:

\(1:\frac{4}{21}=\frac{21}{4}\) (giờ)

Đổi: \(\frac{21}{4}\) giờ = 5 giờ 15 phút.

Đáp số: 5 giờ 15 phút.

Cách 2:

Do 21 là số nhỏ nhất chia hết cho 3 và 7 nên ta coi công việc là 21 phần bằng nhau.

Trong 1 giờ, hai người làm được số phần là: 21 : 3 = 7 (phần)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được số phần là: 21 : 7 = 3 (phần)

Vậy trong 1 giờ, người thứ hai làm được số phần là: 7 − 3 = 4 (phần)

Vậy nếu chỉ người thứ hai làm thì xong công việc trong số giờ là:

\(21:4=\frac{21}{4}\) (giờ)

Đổi: \(\frac{21}{4}\) giờ = 5 giờ 15 phút.

Đáp số: 5 giờ 15 phút.

Bài 2: Ba vòi nước cùng có thể chảy vào một bể chưa có nước. Khi chỉ mở hai vòi I và II thì thời gian để đầy bể là 6 giờ; khi mở hai vòi II và III thì mất 8 giờ; còn khi mở hai vòi I và III thì mất 12 giờ. Hỏi nếu chỉ có vòi III hoạt động thì sau bao nhiêu giờ bể sẽ đầy?

Phân tích: Công việc chung là chạy đầy một bể nước. Để biết vòi III chảy riêng đầy bể trong bao lâu, cần biết 1 giờ vòi III chảy được mấy phần bể nước. Số phần bể nước vòi III chảy được chính là số phần bể nước còn lại.

Bài giải:

Cách 1:

Coi toàn bộ bể nước là 1 đơn vị.

Trong 1 giờ, vòi I và vòi II chảy được là: \(1:6=\frac16\) (bể nước)

Trong 1 giờ, vòi II và vòi III chảy được là: \(1:8=\frac18\) (bể nước)

Trong 1 giờ, vòi I và vòi III chảy được là: \(1:12=\frac{1}{12}\) (bể nước)

Trong 1 giờ, cả ba vòi chảy được là:

\(\left(\frac16+\frac18+\frac{1}{12}\right):2=\frac{3}{16}\) (bể nước)

Trong 1 giờ, vòi III chảy được là: \(\frac{3}{16}-\frac16=\frac{1}{48}\) (bể nước)

Thời gian vòi III chảy đầy bể là: \(1:\frac{1}{48}=48\) (giờ)

Đáp số: 48 giờ.

Cách 2:

Vì 24 chia hết cho 6, 8, 12 nên coi bể nước là 24 phần bằng nhau.

Trong 1 giờ, vòi I và vòi II chảy được là: 24 : 6 = 4 (phần)

Trong 1 giờ, vòi II và vòi III chảy được là: 24 : 8 = 3 (phần)

Trong 1 giờ, vòi I và vòi III chảy được là: 24 : 12 = 2 (phần)

Trong 1 giờ, cả ba vòi chảy được là: (4 + 3 + 2) : 2 = \(\frac92\) (phần)

Vòi III chảy được là: \(\frac92-4=\frac12\) (phần)

Thời gian để vòi III chảy một mình đầy bể là: \(24:\frac12=48\) (giờ)

Đáp số: 48 giờ.

2. Dạng 2: Công việc làm chung không liên tục

Công việc đã làm: Số phần công việc đã được thực hiện bởi một hay nhiều đối tượng.
(Công việc đã làm = năng suất làm việc × thời gian làm việc)

Công việc còn lại: là số phần công việc chưa được thực hiện.
(Công việc còn lại = Công việc cần làm − số phần công việc đã làm)

2.1. Dạng biết quá trình làm việc, tính thời gian hoàn thành toàn bộ công việc

Cách giải:

Cách 1:

Bước 1: Xác định công việc cần làm và các giai đoạn làm việc.

Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành).

Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm theo giai đoạn. ( = lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian × thời gian làm việc tương ứng)

Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại. (= 1 − công việc đã làm)

Bước 5: Tìm lượng công việc trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công việc còn lại. (= công việc còn lại : thời gian hoàn thành công việc còn lại)

Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành toàn bộ công việc của đối tượng cần tìm. (= 1 : lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian)

Cách 2:

Bước 1: Chia công việc thành những phần bằng nhau. (số phần công việc là số chia hết cho số thời gian hoàn thành công việc)

Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành công việc)

Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm. (= lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian × thời gian đã làm)

Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại. (= tổng số phần công việc − số công việc đã làm)

Bước 5: Tìm lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công việc còn lại. (= số phần việc còn lại : thời gian hoàn thành công việc còn lại)

Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành toàn bộ công việc.

Lưu ý bước 2, bước 5: tìm lượng công việc trong 1 đơn vị thời gian nhưng bước 2 dựa vào thời gian hoàn thành của những đối tượng đã biết; bước 5 dựa vào công việc còn lại (của đối tượng chưa biết thời gian làm xong công việc).

Bài tập mẫu:

Bài 1: Hai công nhân A và B cùng thực hiện một công việc dự kiến hoàn thành trong 8 ngày. Sau khi làm chung được 6 ngày thì A nghỉ việc, B tiếp tục làm một mình thêm 6 ngày thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?

Phân tích:

Công việc cần làm không thay đổi.

Công việc chia thành mấy giai đoạn? (hai giai đoạn: 6 ngày đầu: cả hai làm; 5 ngày sau: mình B làm)

2.2. Biết quá trình làm việc, tính thời gian làm phần việc còn lại

Cách giải:

Cách 1:

Bước 1: Xác định công việc cần làm và các giai đoạn làm việc.

Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành).

Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm theo giai đoạn. (= lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian × thời gian làm việc tương ứng)

Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại. (= 1 – công việc đã làm)

Bước 5: Tìm thời gian hoàn thành công việc còn lại của đối tượng cần tìm. (= số phần công việc còn lại : năng suất làm riêng)

Cách 2:

Bước 1: Chia công việc thành những phần bằng nhau. (số phần công việc là số chia hết cho số thời gian hoàn thành công việc)

Bước 2: Tìm lượng công việc làm chung, làm riêng đã biết trong 1 đơn vị thời gian (dựa vào thời gian hoàn thành công việc)

Bước 3: Tìm số phần công việc đã làm. (= lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian × thời gian đã làm)

Bước 4: Tìm số phần công việc còn lại. (= tổng số phần công việc – số công việc đã làm)

Bước 5: Tìm lượng công việc làm trong 1 đơn vị thời gian dựa vào công việc còn lại. (= Tổng số phần công việc : số phần việc còn lại)

Bước 6: Tìm thời gian hoàn thành công việc còn lại của đối tượng cần tìm. (= số phần công việc còn lại : số phần công việc làm trong 1 đơn vị thời gian)

Bài tập mẫu:

Bài 1: Một đơn hàng nếu do xưởng A sản xuất một mình thì cần 10 giờ để hoàn thành, còn xưởng B làm một mình thì cần 15 giờ. Ban đầu xưởng A sản xuất trong 5 giờ rồi chuyển sang làm việc khác, xưởng B tiếp tục sản xuất phần còn lại cho đến khi hoàn thành. Hỏi xưởng B cần bao nhiêu giờ để hoàn thành nốt đơn hàng?

Phân tích:

Công việc cần làm không thay đổi.

Công việc chia thành mấy giai đoạn? (hai giai đoạn: 5 giờ đầu: xưởng A làm, giai đoạn sau: xưởng B làm)

Để tìm thời gian làm công việc còn lại cần biết gì? (cần phải biết số phần công việc còn lại)

Để tìm được công việc còn lại cần biết gì? (cần tìm được công việc đã làm)

Bài giải

Cách 1:

Coi toàn bộ công việc cần làm là 1 phần.

Xưởng A làm trong 1 giờ được số phần công việc là: \(1:10=\frac{1}{10}\) (công việc)

Xưởng B làm trong 1 giờ được số phần công việc là: \(1:15=\frac{1}{15}\) (công việc)

Trong 5 giờ xưởng A làm được số phần công việc là:

\(\frac{1}{10}\times5=\frac12\) (công việc)

Số phần công việc còn lại là: \(1-\frac12=\frac12\) (công việc)

Thời gian tổ Hai làm công việc còn lại là: \(\frac12:\frac{1}{15}=\frac{15}{2}\) (giờ) = 7,5 (giờ)

Đáp số: 7,5 giờ.

Cách 2:

Vì 30 chia hết cho 10 và 15 nên coi toàn bộ công việc là 30 phần bằng nhau.

Trong 1 giờ xưởng A làm được số phần công việc là: 30 : 10 = 3 (phần)

Trong 5 giờ xưởng A làm được số phần công việc là: 3 × 5 = 15 (phần)

Số phần công việc còn lại là: 30 − 15 = 15 (phần)

Trong 1 giờ tổ Hai làm được số phần công việc là: 30 : 15 = 2 (phần)

Công việc còn lại tổ Hai hoàn thành trong thời gian là: 15 : 2 = 7,5 (giờ)

Đáp số: 7,5 giờ.