Tổng hợp kiến thức và bài tập mẫu: Bài toán cấu tạo số SVIP

I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm

1. Hệ thống chữ số và số tự nhiên

Các chữ số: Có 10 chữ số cơ bản là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Nguyên tắc viết số: Khi viết một số tự nhiên có từ hai chữ số trở lên, chữ số ở hàng cao nhất (bên trái ngoài cùng) phải luôn khác 0.

Phân loại số:

- Theo số lượng chữ số: Số có một chữ số, hai chữ số, ba chữ số...

- Theo tính chất chia hết cho 2:

+ Số chẵn: Các số chia hết cho 2, có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

+ Số lẻ: Các số không chia hết cho 2, có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9.

- Theo cấu tạo chữ số: Số có các chữ số giống nhau (Ví dụ: 22, 333, ...), số có các chữ số khác nhau (Ví dụ: 102, 4 987, ...).

2. Quy luật trong dãy số tự nhiên

Hai số tự nhiên liên tiếp hơn hoặc kém nhau 1 đơn vị.

Số 0 là số tự nhiên bé nhất. Không có số tự nhiên lớn nhất.

Trong dãy số chẵn liên tiếp hoặc dãy số lẻ liên tiếp: Hai số liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị.

3. Bí quyết lập số theo điều kiện

Để giải các bài toán lập số nhỏ nhất hoặc lớn nhất từ các điều kiện cho trước, các em cần nhớ quy tắc sau:

a) Để viết số nhỏ nhất:

- Ưu tiên số lượng chữ số là ít nhất (nếu đề bài cho tổng các chữ số).

- Chữ số hàng cao nhất phải là chữ số nhỏ nhất có thể (nhưng phải khác 0).

- Các hàng tiếp theo sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải.

b) Để viết số lớn nhất:

- Ưu tiên số lượng chữ số là nhiều nhất (thường sử dụng nhiều chữ số 0 hoặc 1 nếu có thể).

- Chữ số hàng cao nhất phải là chữ số lớn nhất có thể.

- Các hàng tiếp theo sắp xếp theo thứ tự giảm dần từ trái sang phải.

4. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên

Để giải toán nâng cao, các em cần nắm vững cách tách một số ra thành tổng các giá trị hàng của nó.

Quy ước: Chữ số hàng nào thì nhân với giá trị của hàng đó.

Số có hai chữ số: \(\overline{ab}=a\times10+b\)

Số có ba chữ số: \(\overline{abc}=a\times100+b\times10+c\times\)

Tương tự với các số có nhiều chữ số hơn.

Các em cũng có thể tách linh hoạt theo cụm số để phục vụ việc tính toán nhanh:

Cách 1: \(\overline{abc}=\overline{ab}\times10+c\) (Tách chữ số hàng đơn vị)

Cách 2: \(\overline{abc}=a\times100+\overline{bc}\) (Tách chữ số hàng trăm)

II. Phân dạng bài tập mẫu

1.1. Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước

Bài 1: Cho bốn chữ số: 0, 1, 8, 3. Từ các chữ số trên:

a) Viết được tất cả bao nhiêu số có ba chữ số?

b) Viết được tất cả bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?

c) Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho.

d) Tìm số lẻ, chẵn lớn nhất có ba chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho.

Phân tích: Nhớ rằng hàng trăm của số tự nhiên có ba chữ số > 0 .

Bài giải

a) Vì số có ba chữ số cần lập không yêu cầu phải là các chữ số khác nhau nên lần lượt chọn các chữ số từ hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị như sau:

Vậy có tất cả các số được viết là: 3 × 4 × 4 = 48 (số)

b) Vì số có ba chữ số cần lập yêu cầu phải là các chữ số khác nhau nên lần lượt chọn các chữ số từ hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị như sau:

Vậy có tất cả các số được viết là: 3 × 3 × 2 = 18 (số)

c)

* Số lớn nhất có ba chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số (0; 1; 8; 3) thì phải có chữ số hàng trăm lớn nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng trăm là 8.

Chữ số hàng chục là 3 vì nó là số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại.

Chữ số hàng đơn vị là 1 vì nó là số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại.

Vậy số có ba chữ số lớn nhất lập được từ 4 chữ số trên là là 831.

* Số bé nhất có ba chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số (0; 1; 8; 3) thì phải có chữ số hàng trăm bé nhất và khác 0 trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng trăm là 1.

Chữ số hàng chục là 0 vì nó là số bé nhất trong 3 chữ số còn lại.

Chữ số hàng đơn vị là 3 vì nó là số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại.

Vậy số có ba chữ số bé nhất lập được từ 4 chữ số trên là là 103.

d)

* Số chẵn lớn nhất có ba chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số (0; 1; 8; 3) thì phải thỏa mãn đồng thời: chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn, có chữ số hàng trăm và hàng chục lớn nhất có thể. Vậy chữ số hàng trăm là 8, chữ số hàng đơn vị là 0.

Chữ số hàng chục là 3 vì nó là số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại.

Vậy số chẵn có ba chữ số lớn nhất lập được từ 4 chữ số trên là là 830.

* Số lẻ lớn nhất có ba chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số (0; 1; 8; 3) thì phải thỏa mãn đồng thời: chữ số hàng đơn vị phải là số lẻ, có chữ số hàng trăm và hàng chục lớn nhất có thể. Vậy chữ số hàng trăm là 8, chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục là 3.

Vậy số lẻ có ba chữ số lớn nhất lập được từ 4 chữ số trên là là 831.

1.2. Tính tổng các số lập được từ điều kiện cho trước

Bài 1: Tính tổng các số có ba chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số: 0; 1 ; 8 ; 3.

Bài giải

Ta tính được số lần xuất hiện các chữ số 1; 8; 3 ở hàng trăm, chục, đơn vị.
(Trường hợp này, trong các chữ số cho trước có chữ số 0 nên số lần xuất hiện của các chữ số ở các hàng khác nhau. Khi tính tổng ta không cần tính số lần xuất hiện của các chữ số 0)

Ta thấy:

• Hàng trăm: Mỗi chữ số 1; 3; 8 xuất hiện 6 lần.
• Hàng chục: Mỗi chữ số 1; 3; 8 xuất hiện 4 lần.
• Hàng trăm: Mỗi chữ số 1; 3; 8 xuất hiện 4 lần.

Để tính tổng các số có ba chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số: 0; 1; 3; 8 ta có bảng:

Vậy tổng cần tìm là: 72 × 100 + 72 × 10 + 72 = 7 992.

Khi gặp bài tương tự, chỉ việc thay chữ số vào bảng cuối và tính tổng:

Bài 2: Tính tổng các số có ba chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số: 2; 4; 6; 8.

Bài giải

Bài này không có chữ số 0 nên số lần các chữ số xuất hiện ở các hàng là như nhau và cùng bằng 6.

Vậy tổng cần tìm là:

120 × 100 + 120 × 10 + 120 = 13 320.

1.3. Thay chữ cái vào phép tính thích hợp

Bài 1: Thay chữ cái bằng chữ số thích hợp: \(\overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+a\) = 11 106.

Bài giải

Ta có: \(\overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+a\) = 11 106

a × 1 000 + b × 100 + c × 10 + d + a × 100 + b × 10 + c + a × 10 + b + a = 11 106

a × 1 111 + b × 111 + c × 11 + d = 11 106 (1)

Từ (1) ta thấy, do b < 10, c < 10, d < 10 nên b × 111 + c × 11 + d < 1 230, hay a × 1 111 > 9 876 hay a > 8.

Vậy a = 9, khi đó ta có: 9 999 + b × 111 + c × 11 + d = 11 106

b × 111 + c × 11 + d = 1 107 (2)

Lại do c < 10, d < 10 nên c × 11 + d < 120 hay b × 111 > 987 hay b > 8. Vậy b = 9.

Khi đó ta có 999 + c × 11 + d = 1 107 nên c × 11 + d = 108.

Do d < 10 nên c × 11 > 98 hay c > 8. Vậy c = 9, d = 9.

Vậy ta có phép tính: 9 999 + 999 + 99 + 9 = 11 106.